4x^2+48x-81=0 lösen

$$4 x ^ { 2 } + 48 x - 81 = 0$$

Nach x auflösen

$$x = -\frac{27}{2} = -13\frac{1}{2} = -13,5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 4x^{2}+ax+bx-81 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=48 ab=4\left(-81\right)=-324$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -324 ergeben.

$$-1,324 -2,162 -3,108 -4,81 -6,54 -9,36 -12,27 -18,18$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+324=323 -2+162=160 -3+108=105 -4+81=77 -6+54=48 -9+36=27 -12+27=15 -18+18=0$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 48 ergibt.

$$a=-6 b=54$$

4x^{2}+48x-81 als \left(4x^{2}-6x\right)+\left(54x-81\right) umschreiben.

$$\left(4x^{2}-6x\right)+\left(54x-81\right)$$

Klammern Sie 2x in der ersten und 27 in der zweiten Gruppe aus.

$$2x\left(2x-3\right)+27\left(2x-3\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 2x-3 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(2x-3\right)\left(2x+27\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 2x-3=0 und 2x+27=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$4x^{2}+48x-81=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 4, b durch 48 und c durch -81, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\times 4\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

48 zum Quadrat.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-4\times 4\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 4.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-16\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -16 mit -81.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304+1296}}{2\times 4}$$

Addieren Sie 2304 zu 1296.

$$x=\frac{-48±\sqrt{3600}}{2\times 4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 3600.

$$x=\frac{-48±60}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 4.

$$x=\frac{-48±60}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-48±60}{8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -48 zu 60.

$$x=\frac{12}{8}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{12}{8} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{3}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-48±60}{8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 60 von -48.

$$x=-\frac{108}{8}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-108}{8} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{27}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$4x^{2}+48x-81=0$$

Addieren Sie 81 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$4x^{2}+48x-81-\left(-81\right)=-\left(-81\right)$$

Die Subtraktion von -81 von sich selbst ergibt 0.

$$4x^{2}+48x=-\left(-81\right)$$

Subtrahieren Sie -81 von 0.

$$4x^{2}+48x=81$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 4.

$$\frac{4x^{2}+48x}{4}=\frac{81}{4}$$

Division durch 4 macht die Multiplikation mit 4 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{48}{4}x=\frac{81}{4}$$

Dividieren Sie 48 durch 4.

$$x^{2}+12x=\frac{81}{4}$$

Dividieren Sie 12, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um 6 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von 6 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+12x+6^{2}=\frac{81}{4}+6^{2}$$

6 zum Quadrat.

$$x^{2}+12x+36=\frac{81}{4}+36$$

Addieren Sie \frac{81}{4} zu 36.

$$x^{2}+12x+36=\frac{225}{4}$$

Faktor x^{2}+12x+36. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(x+6\right)^{2}=\frac{225}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x+6=\frac{15}{2} x+6=-\frac{15}{2}$$

6 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$