4x^2+4x-48 lösen

$$4 x ^ { 2 } + 4 x - 48$$

Faktorisieren

$$4\left(x-3\right)\left(x+4\right)$$

Lösungsschritte

Klammern Sie 4 aus.

$$4\left(x^{2}+x-12\right)$$

Betrachten Sie x^{2}+x-12. Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als x^{2}+ax+bx-12 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=1 ab=1\left(-12\right)=-12$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -12 ergeben.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 1 ergibt.

$$a=-3 b=4$$

x^{2}+x-12 als \left(x^{2}-3x\right)+\left(4x-12\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(4x-12\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 4 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x-3\right)+4\left(x-3\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-3 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-3\right)\left(x+4\right)$$

Schreiben Sie den vollständigen, faktorisierten Ausdruck um.

$$4\left(x-3\right)\left(x+4\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$4x^{2}+4x-48=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\left(-48\right)}}{2\times 4}$$

4 zum Quadrat.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\left(-48\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\left(-48\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -16 mit -48.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+768}}{2\times 4}$$

Addieren Sie 16 zu 768.

$$x=\frac{-4±\sqrt{784}}{2\times 4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 784.

$$x=\frac{-4±28}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 4.

$$x=\frac{-4±28}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-4±28}{8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -4 zu 28.

$$x=\frac{24}{8}$$

Dividieren Sie 24 durch 8.

$$x=3$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-4±28}{8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 28 von -4.

$$x=-\frac{32}{8}$$

Dividieren Sie -32 durch 8.

$$x=-4$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} 3 und für x_{2} -4 ein.

$$4x^{2}+4x-48=4\left(x-3\right)\left(x-\left(-4\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$4x^{2}+4x-48=4\left(x-3\right)\left(x+4\right)$$

Auswerten

$$4\left(x-3\right)\left(x+4\right)$$