Nach x auflösen
x=\frac{\sqrt{6}-1}{2}\approx 0,724744871
x=\frac{-\sqrt{6}-1}{2}\approx -1,724744871
Diagramm
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4x^{2}+4x=5
Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.
4x^{2}+4x-5=5-5
5 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.
4x^{2}+4x-5=0
Die Subtraktion von 5 von sich selbst ergibt 0.
x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\left(-5\right)}}{2\times 4}
Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 4, b durch 4 und c durch -5, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\left(-5\right)}}{2\times 4}
4 zum Quadrat.
x=\frac{-4±\sqrt{16-16\left(-5\right)}}{2\times 4}
Multiplizieren Sie -4 mit 4.
x=\frac{-4±\sqrt{16+80}}{2\times 4}
Multiplizieren Sie -16 mit -5.
x=\frac{-4±\sqrt{96}}{2\times 4}
Addieren Sie 16 zu 80.
x=\frac{-4±4\sqrt{6}}{2\times 4}
Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 96.
x=\frac{-4±4\sqrt{6}}{8}
Multiplizieren Sie 2 mit 4.
x=\frac{4\sqrt{6}-4}{8}
Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-4±4\sqrt{6}}{8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -4 zu 4\sqrt{6}.
x=\frac{\sqrt{6}-1}{2}
Dividieren Sie -4+4\sqrt{6} durch 8.
x=\frac{-4\sqrt{6}-4}{8}
Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-4±4\sqrt{6}}{8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 4\sqrt{6} von -4.
x=\frac{-\sqrt{6}-1}{2}
Dividieren Sie -4-4\sqrt{6} durch 8.
x=\frac{\sqrt{6}-1}{2} x=\frac{-\sqrt{6}-1}{2}
Die Gleichung ist jetzt gelöst.
4x^{2}+4x=5
Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.
\frac{4x^{2}+4x}{4}=\frac{5}{4}
Dividieren Sie beide Seiten durch 4.
x^{2}+\frac{4}{4}x=\frac{5}{4}
Division durch 4 macht die Multiplikation mit 4 rückgängig.
x^{2}+x=\frac{5}{4}
Dividieren Sie 4 durch 4.
x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}
Dividieren Sie 1, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{1}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{1}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.
x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{5+1}{4}
Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{1}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.
x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{3}{2}
Addieren Sie \frac{5}{4} zu \frac{1}{4}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.
\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{2}
Faktor x^{2}+x+\frac{1}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.
\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{2}}
Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.
x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{6}}{2}
Vereinfachen.
x=\frac{\sqrt{6}-1}{2} x=\frac{-\sqrt{6}-1}{2}
\frac{1}{2} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.
Beispiele
Quadratische Gleichung
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
Trigonometrie
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
Lineare Gleichung
y = 3x + 4
Arithmetisch
699 * 533
Matrix
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
Simultane Gleichung
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
Differenzierung
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
Integration
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
Grenzwerte
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}