4x^2+4x=1 lösen

$$4 x ^ { 2 } + 4 x = 1$$

Nach x auflösen

$$x=\frac{\sqrt{2}-1}{2}\approx 0,207106781$$

$$x=\frac{-\sqrt{2}-1}{2}\approx -1,207106781$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$4x^{2}+4x=1$$

1 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$4x^{2}+4x-1=1-1$$

Die Subtraktion von 1 von sich selbst ergibt 0.

$$4x^{2}+4x-1=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 4, b durch 4 und c durch -1, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

4 zum Quadrat.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -16 mit -1.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+16}}{2\times 4}$$

Addieren Sie 16 zu 16.

$$x=\frac{-4±\sqrt{32}}{2\times 4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 32.

$$x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 4.

$$x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -4 zu 4\sqrt{2}.

$$x=\frac{4\sqrt{2}-4}{8}$$

Dividieren Sie -4+4\sqrt{2} durch 8.

$$x=\frac{\sqrt{2}-1}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 4\sqrt{2} von -4.

$$x=\frac{-4\sqrt{2}-4}{8}$$

Dividieren Sie -4-4\sqrt{2} durch 8.

$$x=\frac{-\sqrt{2}-1}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{2}-1}{2} x=\frac{-\sqrt{2}-1}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$4x^{2}+4x=1$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 4.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=\frac{1}{4}$$

Division durch 4 macht die Multiplikation mit 4 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=\frac{1}{4}$$

Dividieren Sie 4 durch 4.

$$x^{2}+x=\frac{1}{4}$$

Dividieren Sie 1, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{1}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{1}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{1}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{1+1}{4}$$

Addieren Sie \frac{1}{4} zu \frac{1}{4}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$$

Faktor x^{2}+x+\frac{1}{4}. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

\frac{1}{2} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{\sqrt{2}-1}{2} x=\frac{-\sqrt{2}-1}{2}$$