4x^2+4x+9=0 lösen

$$4 x ^ { 2 } + 4 x + 9 = 0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i\approx -0,5+1,414213562i$$

$$x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}\approx -0,5-1,414213562i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$4x^{2}+4x+9=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 4, b durch 4 und c durch 9, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

4 zum Quadrat.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\times 9}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -16 mit 9.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-144}}{2\times 4}$$

Addieren Sie 16 zu -144.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-128}}{2\times 4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -128.

$$x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 4.

$$x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -4 zu 8i\sqrt{2}.

$$x=\frac{-4+2\times 2^{\frac{5}{2}}i}{8}$$

Dividieren Sie -4+2i\times 2^{\frac{5}{2}} durch 8.

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 8i\sqrt{2} von -4.

$$x=\frac{-2\times 2^{\frac{5}{2}}i-4}{8}$$

Dividieren Sie -4-2i\times 2^{\frac{5}{2}} durch 8.

$$x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$4x^{2}+4x+9=0$$

9 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$4x^{2}+4x+9-9=-9$$

Die Subtraktion von 9 von sich selbst ergibt 0.

$$4x^{2}+4x=-9$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 4.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=-\frac{9}{4}$$

Division durch 4 macht die Multiplikation mit 4 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=-\frac{9}{4}$$

Dividieren Sie 4 durch 4.

$$x^{2}+x=-\frac{9}{4}$$

Dividieren Sie 1, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{1}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{1}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{1}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{-9+1}{4}$$

Addieren Sie -\frac{9}{4} zu \frac{1}{4}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-2$$

Faktor x^{2}+x+\frac{1}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-2$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-2}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{1}{2}=\sqrt{2}i x+\frac{1}{2}=-\sqrt{2}i$$

\frac{1}{2} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$