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4x^{2}+3x-2=0
Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.
x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 4\left(-2\right)}}{2\times 4}
Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 4, b durch 3 und c durch -2, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 4\left(-2\right)}}{2\times 4}
3 zum Quadrat.
x=\frac{-3±\sqrt{9-16\left(-2\right)}}{2\times 4}
Multiplizieren Sie -4 mit 4.
x=\frac{-3±\sqrt{9+32}}{2\times 4}
Multiplizieren Sie -16 mit -2.
x=\frac{-3±\sqrt{41}}{2\times 4}
Addieren Sie 9 zu 32.
x=\frac{-3±\sqrt{41}}{8}
Multiplizieren Sie 2 mit 4.
x=\frac{\sqrt{41}-3}{8}
Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-3±\sqrt{41}}{8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -3 zu \sqrt{41}.
x=\frac{-\sqrt{41}-3}{8}
Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-3±\sqrt{41}}{8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie \sqrt{41} von -3.
x=\frac{\sqrt{41}-3}{8} x=\frac{-\sqrt{41}-3}{8}
Die Gleichung ist jetzt gelöst.
4x^{2}+3x-2=0
Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.
4x^{2}+3x-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)
Addieren Sie 2 zu beiden Seiten der Gleichung.
4x^{2}+3x=-\left(-2\right)
Die Subtraktion von -2 von sich selbst ergibt 0.
4x^{2}+3x=2
Subtrahieren Sie -2 von 0.
\frac{4x^{2}+3x}{4}=\frac{2}{4}
Dividieren Sie beide Seiten durch 4.
x^{2}+\frac{3}{4}x=\frac{2}{4}
Division durch 4 macht die Multiplikation mit 4 rückgängig.
x^{2}+\frac{3}{4}x=\frac{1}{2}
Verringern Sie den Bruch \frac{2}{4} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.
x^{2}+\frac{3}{4}x+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}
Dividieren Sie \frac{3}{4}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{3}{8} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{3}{8} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.
x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=\frac{1}{2}+\frac{9}{64}
Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{3}{8}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.
x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=\frac{41}{64}
Addieren Sie \frac{1}{2} zu \frac{9}{64}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.
\left(x+\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{41}{64}
Faktor x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.
\sqrt{\left(x+\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{41}{64}}
Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.
x+\frac{3}{8}=\frac{\sqrt{41}}{8} x+\frac{3}{8}=-\frac{\sqrt{41}}{8}
Vereinfachen.
x=\frac{\sqrt{41}-3}{8} x=\frac{-\sqrt{41}-3}{8}
\frac{3}{8} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.