4x^2+28x+40=0 lösen

$$4 x ^ { 2 } + 28 x + 40 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=-5$$

$$x=-2$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Dividieren Sie beide Seiten durch 4.

$$x^{2}+7x+10=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als x^{2}+ax+bx+10 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=7 ab=1\times 10=10$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 10 ergeben.

$$1,10 2,5$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+10=11 2+5=7$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 7 ergibt.

$$a=2 b=5$$

x^{2}+7x+10 als \left(x^{2}+2x\right)+\left(5x+10\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}+2x\right)+\left(5x+10\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 5 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x+2\right)+5\left(x+2\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x+2 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x+2\right)\left(x+5\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x+2=0 und x+5=0.

$$x=-2 x=-5$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$4x^{2}+28x+40=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 4, b durch 28 und c durch 40, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-28±\sqrt{28^{2}-4\times 4\times 40}}{2\times 4}$$

28 zum Quadrat.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-4\times 4\times 40}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 4.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-16\times 40}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -16 mit 40.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-640}}{2\times 4}$$

Addieren Sie 784 zu -640.

$$x=\frac{-28±\sqrt{144}}{2\times 4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 144.

$$x=\frac{-28±12}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 4.

$$x=\frac{-28±12}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-28±12}{8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -28 zu 12.

$$x=-\frac{16}{8}$$

Dividieren Sie -16 durch 8.

$$x=-2$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-28±12}{8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 12 von -28.

$$x=-\frac{40}{8}$$

Dividieren Sie -40 durch 8.

$$x=-5$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=-2 x=-5$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$4x^{2}+28x+40=0$$

40 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$4x^{2}+28x+40-40=-40$$

Die Subtraktion von 40 von sich selbst ergibt 0.

$$4x^{2}+28x=-40$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 4.

$$\frac{4x^{2}+28x}{4}=-\frac{40}{4}$$

Division durch 4 macht die Multiplikation mit 4 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{28}{4}x=-\frac{40}{4}$$

Dividieren Sie 28 durch 4.

$$x^{2}+7x=-\frac{40}{4}$$

Dividieren Sie -40 durch 4.

$$x^{2}+7x=-10$$

Dividieren Sie 7, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{7}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{7}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+7x+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}=-10+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{7}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=-10+\frac{49}{4}$$

Addieren Sie -10 zu \frac{49}{4}.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=\frac{9}{4}$$

Faktor x^{2}+7x+\frac{49}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{7}{2}=\frac{3}{2} x+\frac{7}{2}=-\frac{3}{2}$$

\frac{7}{2} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=-2 x=-5$$