4x^2+24x+32=0 lösen

$$4 x ^ { 2 } + 24 x + 32 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=-4$$

$$x=-2$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Dividieren Sie beide Seiten durch 4.

$$x^{2}+6x+8=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als x^{2}+ax+bx+8 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=6 ab=1\times 8=8$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 8 ergeben.

$$1,8 2,4$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+8=9 2+4=6$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 6 ergibt.

$$a=2 b=4$$

x^{2}+6x+8 als \left(x^{2}+2x\right)+\left(4x+8\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}+2x\right)+\left(4x+8\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 4 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x+2\right)+4\left(x+2\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x+2 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x+2\right)\left(x+4\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x+2=0 und x+4=0.

$$x=-2 x=-4$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$4x^{2}+24x+32=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 4, b durch 24 und c durch 32, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-24±\sqrt{24^{2}-4\times 4\times 32}}{2\times 4}$$

24 zum Quadrat.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-4\times 4\times 32}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 4.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-16\times 32}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -16 mit 32.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-512}}{2\times 4}$$

Addieren Sie 576 zu -512.

$$x=\frac{-24±\sqrt{64}}{2\times 4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 64.

$$x=\frac{-24±8}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 4.

$$x=\frac{-24±8}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-24±8}{8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -24 zu 8.

$$x=-\frac{16}{8}$$

Dividieren Sie -16 durch 8.

$$x=-2$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-24±8}{8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 8 von -24.

$$x=-\frac{32}{8}$$

Dividieren Sie -32 durch 8.

$$x=-4$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=-2 x=-4$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$4x^{2}+24x+32=0$$

32 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$4x^{2}+24x+32-32=-32$$

Die Subtraktion von 32 von sich selbst ergibt 0.

$$4x^{2}+24x=-32$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 4.

$$\frac{4x^{2}+24x}{4}=-\frac{32}{4}$$

Division durch 4 macht die Multiplikation mit 4 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{24}{4}x=-\frac{32}{4}$$

Dividieren Sie 24 durch 4.

$$x^{2}+6x=-\frac{32}{4}$$

Dividieren Sie -32 durch 4.

$$x^{2}+6x=-8$$

Dividieren Sie 6, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um 3 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von 3 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+6x+3^{2}=-8+3^{2}$$

3 zum Quadrat.

$$x^{2}+6x+9=-8+9$$

Addieren Sie -8 zu 9.

$$x^{2}+6x+9=1$$

Faktor x^{2}+6x+9. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+3\right)^{2}=1$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+3\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Vereinfachen.

$$x+3=1 x+3=-1$$

3 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=-2 x=-4$$