4x^2+20x+25=49 lösen

$$4 x ^ { 2 } + 20 x + 25 = 49$$

Nach x auflösen

$$x=-6$$

$$x=1$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Subtrahieren Sie 49 von beiden Seiten.

$$4x^{2}+20x+25-49=0$$

Subtrahieren Sie 49 von 25, um -24 zu erhalten.

$$4x^{2}+20x-24=0$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 4.

$$x^{2}+5x-6=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als x^{2}+ax+bx-6 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=5 ab=1\left(-6\right)=-6$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -6 ergeben.

$$-1,6 -2,3$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+6=5 -2+3=1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 5 ergibt.

$$a=-1 b=6$$

x^{2}+5x-6 als \left(x^{2}-x\right)+\left(6x-6\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}-x\right)+\left(6x-6\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 6 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x-1\right)+6\left(x-1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-1\right)\left(x+6\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-1=0 und x+6=0.

$$x=1 x=-6$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$4x^{2}+20x+25=49$$

49 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$4x^{2}+20x+25-49=49-49$$

Die Subtraktion von 49 von sich selbst ergibt 0.

$$4x^{2}+20x+25-49=0$$

Subtrahieren Sie 49 von 25.

$$4x^{2}+20x-24=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 4, b durch 20 und c durch -24, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\times 4\left(-24\right)}}{2\times 4}$$

20 zum Quadrat.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\times 4\left(-24\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 4.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-16\left(-24\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -16 mit -24.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+384}}{2\times 4}$$

Addieren Sie 400 zu 384.

$$x=\frac{-20±\sqrt{784}}{2\times 4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 784.

$$x=\frac{-20±28}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 4.

$$x=\frac{-20±28}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-20±28}{8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -20 zu 28.

$$x=\frac{8}{8}$$

Dividieren Sie 8 durch 8.

$$x=1$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-20±28}{8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 28 von -20.

$$x=-\frac{48}{8}$$

Dividieren Sie -48 durch 8.

$$x=-6$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=1 x=-6$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$4x^{2}+20x+25=49$$

25 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$4x^{2}+20x+25-25=49-25$$

Die Subtraktion von 25 von sich selbst ergibt 0.

$$4x^{2}+20x=49-25$$

Subtrahieren Sie 25 von 49.

$$4x^{2}+20x=24$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 4.

$$\frac{4x^{2}+20x}{4}=\frac{24}{4}$$

Division durch 4 macht die Multiplikation mit 4 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{20}{4}x=\frac{24}{4}$$

Dividieren Sie 20 durch 4.

$$x^{2}+5x=\frac{24}{4}$$

Dividieren Sie 24 durch 4.

$$x^{2}+5x=6$$

Dividieren Sie 5, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{5}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{5}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=6+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{5}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=6+\frac{25}{4}$$

Addieren Sie 6 zu \frac{25}{4}.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=\frac{49}{4}$$

Faktor x^{2}+5x+\frac{25}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{5}{2}=\frac{7}{2} x+\frac{5}{2}=-\frac{7}{2}$$

\frac{5}{2} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=1 x=-6$$