4x^2+2x-8=0 lösen

$$4 x ^ { 2 } + 2 x - 8 = 0$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{\sqrt{33} - 1}{4} \approx 1,186140662$$

$$x=\frac{-\sqrt{33}-1}{4}\approx -1,686140662$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$4x^{2}+2x-8=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 4, b durch 2 und c durch -8, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 4\left(-8\right)}}{2\times 4}$$

2 zum Quadrat.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 4\left(-8\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 4.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-16\left(-8\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -16 mit -8.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+128}}{2\times 4}$$

Addieren Sie 4 zu 128.

$$x=\frac{-2±\sqrt{132}}{2\times 4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 132.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{33}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 4.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{33}}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-2±2\sqrt{33}}{8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -2 zu 2\sqrt{33}.

$$x=\frac{2\sqrt{33}-2}{8}$$

Dividieren Sie -2+2\sqrt{33} durch 8.

$$x=\frac{\sqrt{33}-1}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-2±2\sqrt{33}}{8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{33} von -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{33}-2}{8}$$

Dividieren Sie -2-2\sqrt{33} durch 8.

$$x=\frac{-\sqrt{33}-1}{4}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{33}-1}{4} x=\frac{-\sqrt{33}-1}{4}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$4x^{2}+2x-8=0$$

Addieren Sie 8 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$4x^{2}+2x-8-\left(-8\right)=-\left(-8\right)$$

Die Subtraktion von -8 von sich selbst ergibt 0.

$$4x^{2}+2x=-\left(-8\right)$$

Subtrahieren Sie -8 von 0.

$$4x^{2}+2x=8$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 4.

$$\frac{4x^{2}+2x}{4}=\frac{8}{4}$$

Division durch 4 macht die Multiplikation mit 4 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{2}{4}x=\frac{8}{4}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{2}{4} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{8}{4}$$

Dividieren Sie 8 durch 4.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=2$$

Dividieren Sie \frac{1}{2}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{1}{4} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{1}{4} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=2+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{1}{4}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=2+\frac{1}{16}$$

Addieren Sie 2 zu \frac{1}{16}.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{33}{16}$$

Faktor x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{33}{16}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{33}{16}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{33}}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{33}}{4}$$

\frac{1}{4} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{\sqrt{33}-1}{4} x=\frac{-\sqrt{33}-1}{4}$$