4x^2+17x-42 lösen

$$4 x ^ { 2 } + 17 x - 42$$

Faktorisieren

$$\left(4x-7\right)\left(x+6\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 4x^{2}+ax+bx-42 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=17 ab=4\left(-42\right)=-168$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -168 ergeben.

$$-1,168 -2,84 -3,56 -4,42 -6,28 -7,24 -8,21 -12,14$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+168=167 -2+84=82 -3+56=53 -4+42=38 -6+28=22 -7+24=17 -8+21=13 -12+14=2$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 17 ergibt.

$$a=-7 b=24$$

4x^{2}+17x-42 als \left(4x^{2}-7x\right)+\left(24x-42\right) umschreiben.

$$\left(4x^{2}-7x\right)+\left(24x-42\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 6 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(4x-7\right)+6\left(4x-7\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 4x-7 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(4x-7\right)\left(x+6\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$4x^{2}+17x-42=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\times 4\left(-42\right)}}{2\times 4}$$

17 zum Quadrat.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-4\times 4\left(-42\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 4.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-16\left(-42\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -16 mit -42.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289+672}}{2\times 4}$$

Addieren Sie 289 zu 672.

$$x=\frac{-17±\sqrt{961}}{2\times 4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 961.

$$x=\frac{-17±31}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 4.

$$x=\frac{-17±31}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-17±31}{8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -17 zu 31.

$$x=\frac{14}{8}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{14}{8} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{7}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-17±31}{8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 31 von -17.

$$x=-\frac{48}{8}$$

Dividieren Sie -48 durch 8.

$$x=-6$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} \frac{7}{4} und für x_{2} -6 ein.

$$4x^{2}+17x-42=4\left(x-\frac{7}{4}\right)\left(x-\left(-6\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$4x^{2}+17x-42=4\left(x-\frac{7}{4}\right)\left(x+6\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{7}{4} von x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$4x^{2}+17x-42=4\times \frac{4x-7}{4}\left(x+6\right)$$

Den größten gemeinsamen Faktor 4 in 4 und 4 aufheben.

$$4x^{2}+17x-42=\left(4x-7\right)\left(x+6\right)$$

Auswerten

$$\left(4x-7\right)\left(x+6\right)$$