4x^2+16x-9= lösen

$$4 x ^ { 2 } + 16 x - 9 =$$

Faktorisieren

$$\left(2x-1\right)\left(2x+9\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 4x^{2}+ax+bx-9 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=16 ab=4\left(-9\right)=-36$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -36 ergeben.

$$-1,36 -2,18 -3,12 -4,9 -6,6$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+36=35 -2+18=16 -3+12=9 -4+9=5 -6+6=0$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 16 ergibt.

$$a=-2 b=18$$

4x^{2}+16x-9 als \left(4x^{2}-2x\right)+\left(18x-9\right) umschreiben.

$$\left(4x^{2}-2x\right)+\left(18x-9\right)$$

Klammern Sie 2x in der ersten und 9 in der zweiten Gruppe aus.

$$2x\left(2x-1\right)+9\left(2x-1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 2x-1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(2x-1\right)\left(2x+9\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$4x^{2}+16x-9=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 4\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

16 zum Quadrat.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 4\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 4.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-16\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -16 mit -9.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+144}}{2\times 4}$$

Addieren Sie 256 zu 144.

$$x=\frac{-16±\sqrt{400}}{2\times 4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 400.

$$x=\frac{-16±20}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 4.

$$x=\frac{-16±20}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-16±20}{8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -16 zu 20.

$$x=\frac{4}{8}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{4}{8} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{1}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-16±20}{8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 20 von -16.

$$x=-\frac{36}{8}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-36}{8} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{9}{2}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} \frac{1}{2} und für x_{2} -\frac{9}{2} ein.

$$4x^{2}+16x-9=4\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x-\left(-\frac{9}{2}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$4x^{2}+16x-9=4\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x+\frac{9}{2}\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{1}{2} von x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$4x^{2}+16x-9=4\times \frac{2x-1}{2}\left(x+\frac{9}{2}\right)$$

Addieren Sie \frac{9}{2} zu x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$4x^{2}+16x-9=4\times \frac{2x-1}{2}\times \frac{2x+9}{2}$$

Multiplizieren Sie \frac{2x-1}{2} mit \frac{2x+9}{2}, indem Sie den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch bis auf die kleinsten möglichen Terme.

$$4x^{2}+16x-9=4\times \frac{\left(2x-1\right)\left(2x+9\right)}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$4x^{2}+16x-9=4\times \frac{\left(2x-1\right)\left(2x+9\right)}{4}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 4 in 4 und 4 aufheben.

$$4x^{2}+16x-9=\left(2x-1\right)\left(2x+9\right)$$

Auswerten

$$\left(2x-1\right)\left(2x+9\right)$$