4x^2+14x-27=0 lösen

$$4 x ^ { 2 } + 14 x - 27 = 0$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{\sqrt{157} - 7}{4} \approx 1,382491022$$

$$x=\frac{-\sqrt{157}-7}{4}\approx -4,882491022$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$4x^{2}+14x-27=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 4, b durch 14 und c durch -27, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

14 zum Quadrat.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 4.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-16\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -16 mit -27.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+432}}{2\times 4}$$

Addieren Sie 196 zu 432.

$$x=\frac{-14±\sqrt{628}}{2\times 4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 628.

$$x=\frac{-14±2\sqrt{157}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 4.

$$x=\frac{-14±2\sqrt{157}}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-14±2\sqrt{157}}{8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -14 zu 2\sqrt{157}.

$$x=\frac{2\sqrt{157}-14}{8}$$

Dividieren Sie -14+2\sqrt{157} durch 8.

$$x=\frac{\sqrt{157}-7}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-14±2\sqrt{157}}{8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{157} von -14.

$$x=\frac{-2\sqrt{157}-14}{8}$$

Dividieren Sie -14-2\sqrt{157} durch 8.

$$x=\frac{-\sqrt{157}-7}{4}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{157}-7}{4} x=\frac{-\sqrt{157}-7}{4}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$4x^{2}+14x-27=0$$

Addieren Sie 27 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$4x^{2}+14x-27-\left(-27\right)=-\left(-27\right)$$

Die Subtraktion von -27 von sich selbst ergibt 0.

$$4x^{2}+14x=-\left(-27\right)$$

Subtrahieren Sie -27 von 0.

$$4x^{2}+14x=27$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 4.

$$\frac{4x^{2}+14x}{4}=\frac{27}{4}$$

Division durch 4 macht die Multiplikation mit 4 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{14}{4}x=\frac{27}{4}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{14}{4} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=\frac{27}{4}$$

Dividieren Sie \frac{7}{2}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{7}{4} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{7}{4} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{27}{4}+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{7}{4}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{27}{4}+\frac{49}{16}$$

Addieren Sie \frac{27}{4} zu \frac{49}{16}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{157}{16}$$

Faktor x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{157}{16}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{157}{16}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{7}{4}=\frac{\sqrt{157}}{4} x+\frac{7}{4}=-\frac{\sqrt{157}}{4}$$

\frac{7}{4} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{\sqrt{157}-7}{4} x=\frac{-\sqrt{157}-7}{4}$$