4x^2+12x+5 lösen

$$4 x ^ { 2 } + 12 x + 5$$

Faktorisieren

$$\left(2x+1\right)\left(2x+5\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 4x^{2}+ax+bx+5 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=12 ab=4\times 5=20$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 20 ergeben.

$$1,20 2,10 4,5$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+20=21 2+10=12 4+5=9$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 12 ergibt.

$$a=2 b=10$$

4x^{2}+12x+5 als \left(4x^{2}+2x\right)+\left(10x+5\right) umschreiben.

$$\left(4x^{2}+2x\right)+\left(10x+5\right)$$

Klammern Sie 2x in der ersten und 5 in der zweiten Gruppe aus.

$$2x\left(2x+1\right)+5\left(2x+1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 2x+1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(2x+1\right)\left(2x+5\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$4x^{2}+12x+5=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 4\times 5}}{2\times 4}$$

12 zum Quadrat.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 4\times 5}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 4.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-16\times 5}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -16 mit 5.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-80}}{2\times 4}$$

Addieren Sie 144 zu -80.

$$x=\frac{-12±\sqrt{64}}{2\times 4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 64.

$$x=\frac{-12±8}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 4.

$$x=\frac{-12±8}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-12±8}{8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -12 zu 8.

$$x=-\frac{4}{8}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-4}{8} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-12±8}{8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 8 von -12.

$$x=-\frac{20}{8}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-20}{8} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} -\frac{1}{2} und für x_{2} -\frac{5}{2} ein.

$$4x^{2}+12x+5=4\left(x-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{5}{2}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$4x^{2}+12x+5=4\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x+\frac{5}{2}\right)$$

Addieren Sie \frac{1}{2} zu x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$4x^{2}+12x+5=4\times \frac{2x+1}{2}\left(x+\frac{5}{2}\right)$$

Addieren Sie \frac{5}{2} zu x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$4x^{2}+12x+5=4\times \frac{2x+1}{2}\times \frac{2x+5}{2}$$

Multiplizieren Sie \frac{2x+1}{2} mit \frac{2x+5}{2}, indem Sie den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch bis auf die kleinsten möglichen Terme.

$$4x^{2}+12x+5=4\times \frac{\left(2x+1\right)\left(2x+5\right)}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$4x^{2}+12x+5=4\times \frac{\left(2x+1\right)\left(2x+5\right)}{4}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 4 in 4 und 4 aufheben.

$$4x^{2}+12x+5=\left(2x+1\right)\left(2x+5\right)$$

Auswerten

$$\left(2x+1\right)\left(2x+5\right)$$