4x^2+110x+25=0 lösen

$$4 x ^ { 2 } + 110 x + 25 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=\frac{15\sqrt{13}-55}{4}\approx -0,229182717$$

$$x=\frac{-15\sqrt{13}-55}{4}\approx -27,270817283$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$4x^{2}+110x+25=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 4, b durch 110 und c durch 25, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-110±\sqrt{110^{2}-4\times 4\times 25}}{2\times 4}$$

110 zum Quadrat.

$$x=\frac{-110±\sqrt{12100-4\times 4\times 25}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 4.

$$x=\frac{-110±\sqrt{12100-16\times 25}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -16 mit 25.

$$x=\frac{-110±\sqrt{12100-400}}{2\times 4}$$

Addieren Sie 12100 zu -400.

$$x=\frac{-110±\sqrt{11700}}{2\times 4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 11700.

$$x=\frac{-110±30\sqrt{13}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 4.

$$x=\frac{-110±30\sqrt{13}}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-110±30\sqrt{13}}{8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -110 zu 30\sqrt{13}.

$$x=\frac{30\sqrt{13}-110}{8}$$

Dividieren Sie -110+30\sqrt{13} durch 8.

$$x=\frac{15\sqrt{13}-55}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-110±30\sqrt{13}}{8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 30\sqrt{13} von -110.

$$x=\frac{-30\sqrt{13}-110}{8}$$

Dividieren Sie -110-30\sqrt{13} durch 8.

$$x=\frac{-15\sqrt{13}-55}{4}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{15\sqrt{13}-55}{4} x=\frac{-15\sqrt{13}-55}{4}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$4x^{2}+110x+25=0$$

25 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$4x^{2}+110x+25-25=-25$$

Die Subtraktion von 25 von sich selbst ergibt 0.

$$4x^{2}+110x=-25$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 4.

$$\frac{4x^{2}+110x}{4}=-\frac{25}{4}$$

Division durch 4 macht die Multiplikation mit 4 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{110}{4}x=-\frac{25}{4}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{110}{4} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}+\frac{55}{2}x=-\frac{25}{4}$$

Dividieren Sie \frac{55}{2}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{55}{4} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{55}{4} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{55}{2}x+\left(\frac{55}{4}\right)^{2}=-\frac{25}{4}+\left(\frac{55}{4}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{55}{4}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{55}{2}x+\frac{3025}{16}=-\frac{25}{4}+\frac{3025}{16}$$

Addieren Sie -\frac{25}{4} zu \frac{3025}{16}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{55}{2}x+\frac{3025}{16}=\frac{2925}{16}$$

Faktor x^{2}+\frac{55}{2}x+\frac{3025}{16}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{55}{4}\right)^{2}=\frac{2925}{16}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{55}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2925}{16}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{55}{4}=\frac{15\sqrt{13}}{4} x+\frac{55}{4}=-\frac{15\sqrt{13}}{4}$$

\frac{55}{4} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{15\sqrt{13}-55}{4} x=\frac{-15\sqrt{13}-55}{4}$$