4x^2+11x-20=0 lösen

$$4 x ^ { 2 } + 11 x - 20 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=-4$$

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1,25$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 4x^{2}+ax+bx-20 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=11 ab=4\left(-20\right)=-80$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -80 ergeben.

$$-1,80 -2,40 -4,20 -5,16 -8,10$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+80=79 -2+40=38 -4+20=16 -5+16=11 -8+10=2$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 11 ergibt.

$$a=-5 b=16$$

4x^{2}+11x-20 als \left(4x^{2}-5x\right)+\left(16x-20\right) umschreiben.

$$\left(4x^{2}-5x\right)+\left(16x-20\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 4 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(4x-5\right)+4\left(4x-5\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 4x-5 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(4x-5\right)\left(x+4\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 4x-5=0 und x+4=0.

$$x=\frac{5}{4} x=-4$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$4x^{2}+11x-20=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 4, b durch 11 und c durch -20, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

11 zum Quadrat.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 4.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-16\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -16 mit -20.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+320}}{2\times 4}$$

Addieren Sie 121 zu 320.

$$x=\frac{-11±\sqrt{441}}{2\times 4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 441.

$$x=\frac{-11±21}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 4.

$$x=\frac{-11±21}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-11±21}{8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -11 zu 21.

$$x=\frac{10}{8}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{10}{8} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{5}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-11±21}{8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 21 von -11.

$$x=-\frac{32}{8}$$

Dividieren Sie -32 durch 8.

$$x=-4$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{5}{4} x=-4$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$4x^{2}+11x-20=0$$

Addieren Sie 20 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$4x^{2}+11x-20-\left(-20\right)=-\left(-20\right)$$

Die Subtraktion von -20 von sich selbst ergibt 0.

$$4x^{2}+11x=-\left(-20\right)$$

Subtrahieren Sie -20 von 0.

$$4x^{2}+11x=20$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 4.

$$\frac{4x^{2}+11x}{4}=\frac{20}{4}$$

Division durch 4 macht die Multiplikation mit 4 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x=\frac{20}{4}$$

Dividieren Sie 20 durch 4.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x=5$$

Dividieren Sie \frac{11}{4}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{11}{8} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{11}{8} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x+\left(\frac{11}{8}\right)^{2}=5+\left(\frac{11}{8}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{11}{8}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=5+\frac{121}{64}$$

Addieren Sie 5 zu \frac{121}{64}.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=\frac{441}{64}$$

Faktor x^{2}+\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{11}{8}\right)^{2}=\frac{441}{64}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{64}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{11}{8}=\frac{21}{8} x+\frac{11}{8}=-\frac{21}{8}$$

\frac{11}{8} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{5}{4} x=-4$$