4w^2-7w-15 lösen

$$4 w ^ { 2 } - 7 w - 15$$

Faktorisieren

$$\left(w-3\right)\left(4w+5\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 4w^{2}+aw+bw-15 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-7 ab=4\left(-15\right)=-60$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -60 ergeben.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -7 ergibt.

$$a=-12 b=5$$

4w^{2}-7w-15 als \left(4w^{2}-12w\right)+\left(5w-15\right) umschreiben.

$$\left(4w^{2}-12w\right)+\left(5w-15\right)$$

Klammern Sie 4w in der ersten und 5 in der zweiten Gruppe aus.

$$4w\left(w-3\right)+5\left(w-3\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term w-3 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(w-3\right)\left(4w+5\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$4w^{2}-7w-15=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$w=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

-7 zum Quadrat.

$$w=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 4.

$$w=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -16 mit -15.

$$w=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+240}}{2\times 4}$$

Addieren Sie 49 zu 240.

$$w=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{289}}{2\times 4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 289.

$$w=\frac{-\left(-7\right)±17}{2\times 4}$$

Das Gegenteil von -7 ist 7.

$$w=\frac{7±17}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 4.

$$w=\frac{7±17}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung w=\frac{7±17}{8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 7 zu 17.

$$w=\frac{24}{8}$$

Dividieren Sie 24 durch 8.

$$w=3$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung w=\frac{7±17}{8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 17 von 7.

$$w=-\frac{10}{8}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-10}{8} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$w=-\frac{5}{4}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} 3 und für x_{2} -\frac{5}{4} ein.

$$4w^{2}-7w-15=4\left(w-3\right)\left(w-\left(-\frac{5}{4}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$4w^{2}-7w-15=4\left(w-3\right)\left(w+\frac{5}{4}\right)$$

Addieren Sie \frac{5}{4} zu w, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$4w^{2}-7w-15=4\left(w-3\right)\times \frac{4w+5}{4}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 4 in 4 und 4 aufheben.

$$4w^{2}-7w-15=\left(w-3\right)\left(4w+5\right)$$

Auswerten

$$\left(w-3\right)\left(4w+5\right)$$