4v^2-17v=15 lösen

$$4 v ^ { 2 } - 17 v = 15$$

Nach v auflösen

$$v=-\frac{3}{4}=-0,75$$

$$v=5$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Subtrahieren Sie 15 von beiden Seiten.

$$4v^{2}-17v-15=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 4v^{2}+av+bv-15 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-17 ab=4\left(-15\right)=-60$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -60 ergeben.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -17 ergibt.

$$a=-20 b=3$$

4v^{2}-17v-15 als \left(4v^{2}-20v\right)+\left(3v-15\right) umschreiben.

$$\left(4v^{2}-20v\right)+\left(3v-15\right)$$

Klammern Sie 4v in der ersten und 3 in der zweiten Gruppe aus.

$$4v\left(v-5\right)+3\left(v-5\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term v-5 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(v-5\right)\left(4v+3\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie v-5=0 und 4v+3=0.

$$v=5 v=-\frac{3}{4}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$4v^{2}-17v=15$$

15 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$4v^{2}-17v-15=15-15$$

Die Subtraktion von 15 von sich selbst ergibt 0.

$$4v^{2}-17v-15=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 4, b durch -17 und c durch -15, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$v=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{\left(-17\right)^{2}-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

-17 zum Quadrat.

$$v=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 4.

$$v=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289-16\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -16 mit -15.

$$v=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289+240}}{2\times 4}$$

Addieren Sie 289 zu 240.

$$v=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{529}}{2\times 4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 529.

$$v=\frac{-\left(-17\right)±23}{2\times 4}$$

Das Gegenteil von -17 ist 17.

$$v=\frac{17±23}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 4.

$$v=\frac{17±23}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung v=\frac{17±23}{8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 17 zu 23.

$$v=\frac{40}{8}$$

Dividieren Sie 40 durch 8.

$$v=5$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung v=\frac{17±23}{8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 23 von 17.

$$v=-\frac{6}{8}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-6}{8} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$v=-\frac{3}{4}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$v=5 v=-\frac{3}{4}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$4v^{2}-17v=15$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 4.

$$\frac{4v^{2}-17v}{4}=\frac{15}{4}$$

Division durch 4 macht die Multiplikation mit 4 rückgängig.

$$v^{2}-\frac{17}{4}v=\frac{15}{4}$$

Dividieren Sie -\frac{17}{4}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{17}{8} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{17}{8} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$v^{2}-\frac{17}{4}v+\left(-\frac{17}{8}\right)^{2}=\frac{15}{4}+\left(-\frac{17}{8}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{17}{8}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$v^{2}-\frac{17}{4}v+\frac{289}{64}=\frac{15}{4}+\frac{289}{64}$$

Addieren Sie \frac{15}{4} zu \frac{289}{64}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$v^{2}-\frac{17}{4}v+\frac{289}{64}=\frac{529}{64}$$

Faktor v^{2}-\frac{17}{4}v+\frac{289}{64}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(v-\frac{17}{8}\right)^{2}=\frac{529}{64}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(v-\frac{17}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{64}}$$

Vereinfachen.

$$v-\frac{17}{8}=\frac{23}{8} v-\frac{17}{8}=-\frac{23}{8}$$

Addieren Sie \frac{17}{8} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$v=5 v=-\frac{3}{4}$$