4t^2-13t-12 lösen

$$4 t ^ { 2 } - 13 t - 12$$

Faktorisieren

$$\left(t-4\right)\left(4t+3\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 4t^{2}+at+bt-12 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-13 ab=4\left(-12\right)=-48$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -48 ergeben.

$$1,-48 2,-24 3,-16 4,-12 6,-8$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-48=-47 2-24=-22 3-16=-13 4-12=-8 6-8=-2$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -13 ergibt.

$$a=-16 b=3$$

4t^{2}-13t-12 als \left(4t^{2}-16t\right)+\left(3t-12\right) umschreiben.

$$\left(4t^{2}-16t\right)+\left(3t-12\right)$$

Klammern Sie 4t in der ersten und 3 in der zweiten Gruppe aus.

$$4t\left(t-4\right)+3\left(t-4\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term t-4 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(t-4\right)\left(4t+3\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$4t^{2}-13t-12=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$t=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 4\left(-12\right)}}{2\times 4}$$

-13 zum Quadrat.

$$t=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 4\left(-12\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 4.

$$t=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-16\left(-12\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -16 mit -12.

$$t=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169+192}}{2\times 4}$$

Addieren Sie 169 zu 192.

$$t=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{361}}{2\times 4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 361.

$$t=\frac{-\left(-13\right)±19}{2\times 4}$$

Das Gegenteil von -13 ist 13.

$$t=\frac{13±19}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 4.

$$t=\frac{13±19}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung t=\frac{13±19}{8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 13 zu 19.

$$t=\frac{32}{8}$$

Dividieren Sie 32 durch 8.

$$t=4$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung t=\frac{13±19}{8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 19 von 13.

$$t=-\frac{6}{8}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-6}{8} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$t=-\frac{3}{4}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} 4 und für x_{2} -\frac{3}{4} ein.

$$4t^{2}-13t-12=4\left(t-4\right)\left(t-\left(-\frac{3}{4}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$4t^{2}-13t-12=4\left(t-4\right)\left(t+\frac{3}{4}\right)$$

Addieren Sie \frac{3}{4} zu t, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$4t^{2}-13t-12=4\left(t-4\right)\times \frac{4t+3}{4}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 4 in 4 und 4 aufheben.

$$4t^{2}-13t-12=\left(t-4\right)\left(4t+3\right)$$

Auswerten

$$\left(t-4\right)\left(4t+3\right)$$