4q^2-34q+70 lösen

$$4 q ^ { 2 } - 34 q + 70$$

Faktorisieren

$$2\left(q-5\right)\left(2q-7\right)$$

Lösungsschritte

Klammern Sie 2 aus.

$$2\left(2q^{2}-17q+35\right)$$

Betrachten Sie 2q^{2}-17q+35. Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 2q^{2}+aq+bq+35 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-17 ab=2\times 35=70$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 70 ergeben.

$$-1,-70 -2,-35 -5,-14 -7,-10$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-70=-71 -2-35=-37 -5-14=-19 -7-10=-17$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -17 ergibt.

$$a=-10 b=-7$$

2q^{2}-17q+35 als \left(2q^{2}-10q\right)+\left(-7q+35\right) umschreiben.

$$\left(2q^{2}-10q\right)+\left(-7q+35\right)$$

Klammern Sie 2q in der ersten und -7 in der zweiten Gruppe aus.

$$2q\left(q-5\right)-7\left(q-5\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term q-5 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(q-5\right)\left(2q-7\right)$$

Schreiben Sie den vollständigen, faktorisierten Ausdruck um.

$$2\left(q-5\right)\left(2q-7\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$4q^{2}-34q+70=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$q=\frac{-\left(-34\right)±\sqrt{\left(-34\right)^{2}-4\times 4\times 70}}{2\times 4}$$

-34 zum Quadrat.

$$q=\frac{-\left(-34\right)±\sqrt{1156-4\times 4\times 70}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 4.

$$q=\frac{-\left(-34\right)±\sqrt{1156-16\times 70}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -16 mit 70.

$$q=\frac{-\left(-34\right)±\sqrt{1156-1120}}{2\times 4}$$

Addieren Sie 1156 zu -1120.

$$q=\frac{-\left(-34\right)±\sqrt{36}}{2\times 4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 36.

$$q=\frac{-\left(-34\right)±6}{2\times 4}$$

Das Gegenteil von -34 ist 34.

$$q=\frac{34±6}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 4.

$$q=\frac{34±6}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung q=\frac{34±6}{8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 34 zu 6.

$$q=\frac{40}{8}$$

Dividieren Sie 40 durch 8.

$$q=5$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung q=\frac{34±6}{8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 6 von 34.

$$q=\frac{28}{8}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{28}{8} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$q=\frac{7}{2}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} 5 und für x_{2} \frac{7}{2} ein.

$$4q^{2}-34q+70=4\left(q-5\right)\left(q-\frac{7}{2}\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{7}{2} von q, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$4q^{2}-34q+70=4\left(q-5\right)\times \frac{2q-7}{2}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 2 in 4 und 2 aufheben.

$$4q^{2}-34q+70=2\left(q-5\right)\left(2q-7\right)$$

Auswerten

$$2\left(q-5\right)\left(2q-7\right)$$