4p^2-3p-10=0 lösen

$$4 p ^ { 2 } - 3 p - 10 = 0$$

Nach p auflösen

$$p = -\frac{5}{4} = -1\frac{1}{4} = -1,25$$

$$p=2$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 4p^{2}+ap+bp-10 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-3 ab=4\left(-10\right)=-40$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -40 ergeben.

$$1,-40 2,-20 4,-10 5,-8$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-40=-39 2-20=-18 4-10=-6 5-8=-3$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -3 ergibt.

$$a=-8 b=5$$

4p^{2}-3p-10 als \left(4p^{2}-8p\right)+\left(5p-10\right) umschreiben.

$$\left(4p^{2}-8p\right)+\left(5p-10\right)$$

Klammern Sie 4p in der ersten und 5 in der zweiten Gruppe aus.

$$4p\left(p-2\right)+5\left(p-2\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term p-2 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(p-2\right)\left(4p+5\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie p-2=0 und 4p+5=0.

$$p=2 p=-\frac{5}{4}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$4p^{2}-3p-10=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 4, b durch -3 und c durch -10, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 4\left(-10\right)}}{2\times 4}$$

-3 zum Quadrat.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 4\left(-10\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 4.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-16\left(-10\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -16 mit -10.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+160}}{2\times 4}$$

Addieren Sie 9 zu 160.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{169}}{2\times 4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 169.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±13}{2\times 4}$$

Das Gegenteil von -3 ist 3.

$$p=\frac{3±13}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 4.

$$p=\frac{3±13}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung p=\frac{3±13}{8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 3 zu 13.

$$p=\frac{16}{8}$$

Dividieren Sie 16 durch 8.

$$p=2$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung p=\frac{3±13}{8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 13 von 3.

$$p=-\frac{10}{8}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-10}{8} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$p=-\frac{5}{4}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$p=2 p=-\frac{5}{4}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$4p^{2}-3p-10=0$$

Addieren Sie 10 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$4p^{2}-3p-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

Die Subtraktion von -10 von sich selbst ergibt 0.

$$4p^{2}-3p=-\left(-10\right)$$

Subtrahieren Sie -10 von 0.

$$4p^{2}-3p=10$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 4.

$$\frac{4p^{2}-3p}{4}=\frac{10}{4}$$

Division durch 4 macht die Multiplikation mit 4 rückgängig.

$$p^{2}-\frac{3}{4}p=\frac{10}{4}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{10}{4} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$p^{2}-\frac{3}{4}p=\frac{5}{2}$$

Dividieren Sie -\frac{3}{4}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{3}{8} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{3}{8} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$p^{2}-\frac{3}{4}p+\left(-\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(-\frac{3}{8}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{3}{8}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$p^{2}-\frac{3}{4}p+\frac{9}{64}=\frac{5}{2}+\frac{9}{64}$$

Addieren Sie \frac{5}{2} zu \frac{9}{64}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$p^{2}-\frac{3}{4}p+\frac{9}{64}=\frac{169}{64}$$

Faktor p^{2}-\frac{3}{4}p+\frac{9}{64}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(p-\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{169}{64}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(p-\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{64}}$$

Vereinfachen.

$$p-\frac{3}{8}=\frac{13}{8} p-\frac{3}{8}=-\frac{13}{8}$$

Addieren Sie \frac{3}{8} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$p=2 p=-\frac{5}{4}$$