4n^2-7n=11 lösen

$$4 n ^ { 2 } - 7 n = 11$$

Nach n auflösen

$$n=-1$$

$$n = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} = 2,75$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Subtrahieren Sie 11 von beiden Seiten.

$$4n^{2}-7n-11=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 4n^{2}+an+bn-11 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-7 ab=4\left(-11\right)=-44$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -44 ergeben.

$$1,-44 2,-22 4,-11$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-44=-43 2-22=-20 4-11=-7$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -7 ergibt.

$$a=-11 b=4$$

4n^{2}-7n-11 als \left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right) umschreiben.

$$\left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right)$$

Klammern Sie n in 4n^{2}-11n aus.

$$n\left(4n-11\right)+4n-11$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 4n-11 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(4n-11\right)\left(n+1\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 4n-11=0 und n+1=0.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$4n^{2}-7n=11$$

11 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$4n^{2}-7n-11=11-11$$

Die Subtraktion von 11 von sich selbst ergibt 0.

$$4n^{2}-7n-11=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 4, b durch -7 und c durch -11, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

-7 zum Quadrat.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 4.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -16 mit -11.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+176}}{2\times 4}$$

Addieren Sie 49 zu 176.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{225}}{2\times 4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 225.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±15}{2\times 4}$$

Das Gegenteil von -7 ist 7.

$$n=\frac{7±15}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 4.

$$n=\frac{7±15}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung n=\frac{7±15}{8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 7 zu 15.

$$n=\frac{22}{8}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{22}{8} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$n=\frac{11}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung n=\frac{7±15}{8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 15 von 7.

$$n=-\frac{8}{8}$$

Dividieren Sie -8 durch 8.

$$n=-1$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$4n^{2}-7n=11$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 4.

$$\frac{4n^{2}-7n}{4}=\frac{11}{4}$$

Division durch 4 macht die Multiplikation mit 4 rückgängig.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n=\frac{11}{4}$$

Dividieren Sie -\frac{7}{4}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{7}{8} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{7}{8} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{11}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{7}{8}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{11}{4}+\frac{49}{64}$$

Addieren Sie \frac{11}{4} zu \frac{49}{64}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{225}{64}$$

Faktor n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{225}{64}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{64}}$$

Vereinfachen.

$$n-\frac{7}{8}=\frac{15}{8} n-\frac{7}{8}=-\frac{15}{8}$$

Addieren Sie \frac{7}{8} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$