4m^2-14m+8=0 lösen

$$4 m ^ { 2 } - 14 m + 8 = 0$$

Nach m auflösen

$$m = \frac{\sqrt{17} + 7}{4} \approx 2,780776406$$

$$m=\frac{7-\sqrt{17}}{4}\approx 0,719223594$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$4m^{2}-14m+8=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 4, b durch -14 und c durch 8, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$m=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 4\times 8}}{2\times 4}$$

-14 zum Quadrat.

$$m=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 4\times 8}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 4.

$$m=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-16\times 8}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -16 mit 8.

$$m=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-128}}{2\times 4}$$

Addieren Sie 196 zu -128.

$$m=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{68}}{2\times 4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 68.

$$m=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{17}}{2\times 4}$$

Das Gegenteil von -14 ist 14.

$$m=\frac{14±2\sqrt{17}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 4.

$$m=\frac{14±2\sqrt{17}}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung m=\frac{14±2\sqrt{17}}{8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 14 zu 2\sqrt{17}.

$$m=\frac{2\sqrt{17}+14}{8}$$

Dividieren Sie 14+2\sqrt{17} durch 8.

$$m=\frac{\sqrt{17}+7}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung m=\frac{14±2\sqrt{17}}{8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{17} von 14.

$$m=\frac{14-2\sqrt{17}}{8}$$

Dividieren Sie 14-2\sqrt{17} durch 8.

$$m=\frac{7-\sqrt{17}}{4}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$m=\frac{\sqrt{17}+7}{4} m=\frac{7-\sqrt{17}}{4}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$4m^{2}-14m+8=0$$

8 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$4m^{2}-14m+8-8=-8$$

Die Subtraktion von 8 von sich selbst ergibt 0.

$$4m^{2}-14m=-8$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 4.

$$\frac{4m^{2}-14m}{4}=-\frac{8}{4}$$

Division durch 4 macht die Multiplikation mit 4 rückgängig.

$$m^{2}+\left(-\frac{14}{4}\right)m=-\frac{8}{4}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-14}{4} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$m^{2}-\frac{7}{2}m=-\frac{8}{4}$$

Dividieren Sie -8 durch 4.

$$m^{2}-\frac{7}{2}m=-2$$

Dividieren Sie -\frac{7}{2}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{7}{4} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{7}{4} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$m^{2}-\frac{7}{2}m+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}=-2+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{7}{4}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$m^{2}-\frac{7}{2}m+\frac{49}{16}=-2+\frac{49}{16}$$

Addieren Sie -2 zu \frac{49}{16}.

$$m^{2}-\frac{7}{2}m+\frac{49}{16}=\frac{17}{16}$$

Faktor m^{2}-\frac{7}{2}m+\frac{49}{16}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(m-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{17}{16}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(m-\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{17}{16}}$$

Vereinfachen.

$$m-\frac{7}{4}=\frac{\sqrt{17}}{4} m-\frac{7}{4}=-\frac{\sqrt{17}}{4}$$

Addieren Sie \frac{7}{4} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$m=\frac{\sqrt{17}+7}{4} m=\frac{7-\sqrt{17}}{4}$$