4m^2+4m-15 lösen

$$4 m ^ { 2 } + 4 m - 15$$

Faktorisieren

$$\left(2m-3\right)\left(2m+5\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 4m^{2}+am+bm-15 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=4 ab=4\left(-15\right)=-60$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -60 ergeben.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 4 ergibt.

$$a=-6 b=10$$

4m^{2}+4m-15 als \left(4m^{2}-6m\right)+\left(10m-15\right) umschreiben.

$$\left(4m^{2}-6m\right)+\left(10m-15\right)$$

Klammern Sie 2m in der ersten und 5 in der zweiten Gruppe aus.

$$2m\left(2m-3\right)+5\left(2m-3\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 2m-3 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(2m-3\right)\left(2m+5\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$4m^{2}+4m-15=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$m=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

4 zum Quadrat.

$$m=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 4.

$$m=\frac{-4±\sqrt{16-16\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -16 mit -15.

$$m=\frac{-4±\sqrt{16+240}}{2\times 4}$$

Addieren Sie 16 zu 240.

$$m=\frac{-4±\sqrt{256}}{2\times 4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 256.

$$m=\frac{-4±16}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 4.

$$m=\frac{-4±16}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung m=\frac{-4±16}{8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -4 zu 16.

$$m=\frac{12}{8}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{12}{8} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$m=\frac{3}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung m=\frac{-4±16}{8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 16 von -4.

$$m=-\frac{20}{8}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-20}{8} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$m=-\frac{5}{2}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} \frac{3}{2} und für x_{2} -\frac{5}{2} ein.

$$4m^{2}+4m-15=4\left(m-\frac{3}{2}\right)\left(m-\left(-\frac{5}{2}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$4m^{2}+4m-15=4\left(m-\frac{3}{2}\right)\left(m+\frac{5}{2}\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{3}{2} von m, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$4m^{2}+4m-15=4\times \frac{2m-3}{2}\left(m+\frac{5}{2}\right)$$

Addieren Sie \frac{5}{2} zu m, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$4m^{2}+4m-15=4\times \frac{2m-3}{2}\times \frac{2m+5}{2}$$

Multiplizieren Sie \frac{2m-3}{2} mit \frac{2m+5}{2}, indem Sie den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch bis auf die kleinsten möglichen Terme.

$$4m^{2}+4m-15=4\times \frac{\left(2m-3\right)\left(2m+5\right)}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$4m^{2}+4m-15=4\times \frac{\left(2m-3\right)\left(2m+5\right)}{4}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 4 in 4 und 4 aufheben.

$$4m^{2}+4m-15=\left(2m-3\right)\left(2m+5\right)$$

Auswerten

$$\left(2m-3\right)\left(2m+5\right)$$