4k^2-8k-5 lösen

$$4 k ^ { 2 } - 8 k - 5$$

Faktorisieren

$$\left(2k-5\right)\left(2k+1\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 4k^{2}+ak+bk-5 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-8 ab=4\left(-5\right)=-20$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -20 ergeben.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -8 ergibt.

$$a=-10 b=2$$

4k^{2}-8k-5 als \left(4k^{2}-10k\right)+\left(2k-5\right) umschreiben.

$$\left(4k^{2}-10k\right)+\left(2k-5\right)$$

Klammern Sie 2k in 4k^{2}-10k aus.

$$2k\left(2k-5\right)+2k-5$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 2k-5 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(2k-5\right)\left(2k+1\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$4k^{2}-8k-5=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$k=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 4\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

-8 zum Quadrat.

$$k=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 4\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 4.

$$k=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-16\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -16 mit -5.

$$k=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+80}}{2\times 4}$$

Addieren Sie 64 zu 80.

$$k=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{144}}{2\times 4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 144.

$$k=\frac{-\left(-8\right)±12}{2\times 4}$$

Das Gegenteil von -8 ist 8.

$$k=\frac{8±12}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 4.

$$k=\frac{8±12}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung k=\frac{8±12}{8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 8 zu 12.

$$k=\frac{20}{8}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{20}{8} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$k=\frac{5}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung k=\frac{8±12}{8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 12 von 8.

$$k=-\frac{4}{8}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-4}{8} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$k=-\frac{1}{2}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} \frac{5}{2} und für x_{2} -\frac{1}{2} ein.

$$4k^{2}-8k-5=4\left(k-\frac{5}{2}\right)\left(k-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$4k^{2}-8k-5=4\left(k-\frac{5}{2}\right)\left(k+\frac{1}{2}\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{5}{2} von k, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$4k^{2}-8k-5=4\times \frac{2k-5}{2}\left(k+\frac{1}{2}\right)$$

Addieren Sie \frac{1}{2} zu k, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$4k^{2}-8k-5=4\times \frac{2k-5}{2}\times \frac{2k+1}{2}$$

Multiplizieren Sie \frac{2k-5}{2} mit \frac{2k+1}{2}, indem Sie den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch bis auf die kleinsten möglichen Terme.

$$4k^{2}-8k-5=4\times \frac{\left(2k-5\right)\left(2k+1\right)}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$4k^{2}-8k-5=4\times \frac{\left(2k-5\right)\left(2k+1\right)}{4}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 4 in 4 und 4 aufheben.

$$4k^{2}-8k-5=\left(2k-5\right)\left(2k+1\right)$$

Auswerten

$$\left(2k-5\right)\left(2k+1\right)$$