4a^2-6a-1=-3 lösen

$$4 a ^ { 2 } - 6 a - 1 = - 3$$

Nach a auflösen

$$a=\frac{1}{2}=0,5$$

$$a=1$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Auf beiden Seiten 3 addieren.

$$4a^{2}-6a-1+3=0$$

Addieren Sie -1 und 3, um 2 zu erhalten.

$$4a^{2}-6a+2=0$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$2a^{2}-3a+1=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 2a^{2}+aa+ba+1 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-3 ab=2\times 1=2$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Das einzige derartige Paar ist die Lösung des Systems.

$$a=-2 b=-1$$

2a^{2}-3a+1 als \left(2a^{2}-2a\right)+\left(-a+1\right) umschreiben.

$$\left(2a^{2}-2a\right)+\left(-a+1\right)$$

Klammern Sie 2a in der ersten und -1 in der zweiten Gruppe aus.

$$2a\left(a-1\right)-\left(a-1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term a-1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(a-1\right)\left(2a-1\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie a-1=0 und 2a-1=0.

$$a=1 a=\frac{1}{2}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$4a^{2}-6a-1=-3$$

Addieren Sie 3 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$4a^{2}-6a-1-\left(-3\right)=-3-\left(-3\right)$$

Die Subtraktion von -3 von sich selbst ergibt 0.

$$4a^{2}-6a-1-\left(-3\right)=0$$

Subtrahieren Sie -3 von -1.

$$4a^{2}-6a+2=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 4, b durch -6 und c durch 2, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 4\times 2}}{2\times 4}$$

-6 zum Quadrat.

$$a=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 4\times 2}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 4.

$$a=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-16\times 2}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -16 mit 2.

$$a=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-32}}{2\times 4}$$

Addieren Sie 36 zu -32.

$$a=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{4}}{2\times 4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 4.

$$a=\frac{-\left(-6\right)±2}{2\times 4}$$

Das Gegenteil von -6 ist 6.

$$a=\frac{6±2}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 4.

$$a=\frac{6±2}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung a=\frac{6±2}{8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 6 zu 2.

$$a=\frac{8}{8}$$

Dividieren Sie 8 durch 8.

$$a=1$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung a=\frac{6±2}{8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2 von 6.

$$a=\frac{4}{8}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{4}{8} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$a=\frac{1}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$a=1 a=\frac{1}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$4a^{2}-6a-1=-3$$

Addieren Sie 1 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$4a^{2}-6a-1-\left(-1\right)=-3-\left(-1\right)$$

Die Subtraktion von -1 von sich selbst ergibt 0.

$$4a^{2}-6a=-3-\left(-1\right)$$

Subtrahieren Sie -1 von -3.

$$4a^{2}-6a=-2$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 4.

$$\frac{4a^{2}-6a}{4}=-\frac{2}{4}$$

Division durch 4 macht die Multiplikation mit 4 rückgängig.

$$a^{2}+\left(-\frac{6}{4}\right)a=-\frac{2}{4}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-6}{4} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$a^{2}-\frac{3}{2}a=-\frac{2}{4}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-2}{4} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$a^{2}-\frac{3}{2}a=-\frac{1}{2}$$

Dividieren Sie -\frac{3}{2}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{3}{4} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{3}{4} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$a^{2}-\frac{3}{2}a+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{3}{4}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$a^{2}-\frac{3}{2}a+\frac{9}{16}=-\frac{1}{2}+\frac{9}{16}$$

Addieren Sie -\frac{1}{2} zu \frac{9}{16}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$a^{2}-\frac{3}{2}a+\frac{9}{16}=\frac{1}{16}$$

Faktor a^{2}-\frac{3}{2}a+\frac{9}{16}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(a-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{1}{16}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(a-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{16}}$$

Vereinfachen.

$$a-\frac{3}{4}=\frac{1}{4} a-\frac{3}{4}=-\frac{1}{4}$$

Addieren Sie \frac{3}{4} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$a=1 a=\frac{1}{2}$$