4a^2-4a+1 lösen

$$4 a ^ { 2 } - 4 a + 1$$

Faktorisieren

$$\left(2a-1\right)^{2}$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 4a^{2}+pa+qa+1 umgeschrieben werden. Um p und q zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$p+q=-4 pq=4\times 1=4$$

Weil pq positiv ist, haben p und q dasselbe Vorzeichen. Weil p+q negativ ist, sind p und q beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 4 ergeben.

$$-1,-4 -2,-2$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -4 ergibt.

$$p=-2 q=-2$$

4a^{2}-4a+1 als \left(4a^{2}-2a\right)+\left(-2a+1\right) umschreiben.

$$\left(4a^{2}-2a\right)+\left(-2a+1\right)$$

Klammern Sie 2a in der ersten und -1 in der zweiten Gruppe aus.

$$2a\left(2a-1\right)-\left(2a-1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 2a-1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(2a-1\right)\left(2a-1\right)$$

Umschreiben als binomisches Quadrat.

$$\left(2a-1\right)^{2}$$

Schritte unter Verwendung des Quadrats von Binomen

Dieses Trinom hat die Form eines trinomischen Quadrats, möglicherweise mit einem gemeinsamen Faktor multipliziert. Trinomische Quadrate können durch Finden der Quadratwurzeln des führenden und des schließenden Terms in Faktoren zerlegt werden.

$$factor(4a^{2}-4a+1)$$

Suchen Sie den größten gemeinsamen Faktor der Koeffizienten.

$$gcf(4,-4,1)=1$$

Suchen Sie die Quadratwurzel des führenden Terms 4a^{2}.

$$\sqrt{4a^{2}}=2a$$

Das trinomische Quadrat ist das Quadrat des Binoms, das die Summe oder Differenz der Quadratwurzeln des führenden und des schließenden Terms ist, wodurch das Vorzeichen durch das Vorzeichen des mittleren Terms des trinomischen Quadrats bestimmt wird.

$$\left(2a-1\right)^{2}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$4a^{2}-4a+1=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$a=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

-4 zum Quadrat.

$$a=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 4.

$$a=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16}}{2\times 4}$$

Addieren Sie 16 zu -16.

$$a=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 0.

$$a=\frac{-\left(-4\right)±0}{2\times 4}$$

Das Gegenteil von -4 ist 4.

$$a=\frac{4±0}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 4.

$$a=\frac{4±0}{8}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} \frac{1}{2} und für x_{2} \frac{1}{2} ein.

$$4a^{2}-4a+1=4\left(a-\frac{1}{2}\right)\left(a-\frac{1}{2}\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{1}{2} von a, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$4a^{2}-4a+1=4\times \frac{2a-1}{2}\left(a-\frac{1}{2}\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{1}{2} von a, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$4a^{2}-4a+1=4\times \frac{2a-1}{2}\times \frac{2a-1}{2}$$

Multiplizieren Sie \frac{2a-1}{2} mit \frac{2a-1}{2}, indem Sie den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch bis auf die kleinsten möglichen Terme.

$$4a^{2}-4a+1=4\times \frac{\left(2a-1\right)\left(2a-1\right)}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$4a^{2}-4a+1=4\times \frac{\left(2a-1\right)\left(2a-1\right)}{4}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 4 in 4 und 4 aufheben.

$$4a^{2}-4a+1=\left(2a-1\right)\left(2a-1\right)$$

Auswerten

$$\left(2a-1\right)^{2}$$