4a^2+28a+48 lösen

$$4 a ^ { 2 } + 28 a + 48$$

Faktorisieren

$$4\left(a+3\right)\left(a+4\right)$$

Lösungsschritte

Klammern Sie 4 aus.

$$4\left(a^{2}+7a+12\right)$$

Betrachten Sie a^{2}+7a+12. Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als a^{2}+pa+qa+12 umgeschrieben werden. Um p und q zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$p+q=7 pq=1\times 12=12$$

Weil pq positiv ist, haben p und q dasselbe Vorzeichen. Weil p+q positiv ist, sind p und q beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 12 ergeben.

$$1,12 2,6 3,4$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+12=13 2+6=8 3+4=7$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 7 ergibt.

$$p=3 q=4$$

a^{2}+7a+12 als \left(a^{2}+3a\right)+\left(4a+12\right) umschreiben.

$$\left(a^{2}+3a\right)+\left(4a+12\right)$$

Klammern Sie a in der ersten und 4 in der zweiten Gruppe aus.

$$a\left(a+3\right)+4\left(a+3\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term a+3 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(a+3\right)\left(a+4\right)$$

Schreiben Sie den vollständigen, faktorisierten Ausdruck um.

$$4\left(a+3\right)\left(a+4\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$4a^{2}+28a+48=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$a=\frac{-28±\sqrt{28^{2}-4\times 4\times 48}}{2\times 4}$$

28 zum Quadrat.

$$a=\frac{-28±\sqrt{784-4\times 4\times 48}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 4.

$$a=\frac{-28±\sqrt{784-16\times 48}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -16 mit 48.

$$a=\frac{-28±\sqrt{784-768}}{2\times 4}$$

Addieren Sie 784 zu -768.

$$a=\frac{-28±\sqrt{16}}{2\times 4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 16.

$$a=\frac{-28±4}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 4.

$$a=\frac{-28±4}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung a=\frac{-28±4}{8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -28 zu 4.

$$a=-\frac{24}{8}$$

Dividieren Sie -24 durch 8.

$$a=-3$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung a=\frac{-28±4}{8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 4 von -28.

$$a=-\frac{32}{8}$$

Dividieren Sie -32 durch 8.

$$a=-4$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} -3 und für x_{2} -4 ein.

$$4a^{2}+28a+48=4\left(a-\left(-3\right)\right)\left(a-\left(-4\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$4a^{2}+28a+48=4\left(a+3\right)\left(a+4\right)$$

Auswerten

$$4\left(a+3\right)\left(a+4\right)$$