4-8/3x+1=3x^2+5/3x+1 lösen

$$4 - \frac { 8 } { 3 x + 1 } = \frac { 3 x ^ { 2 } + 5 } { 3 x + 1 }$$

Nach x auflösen

$$x=1$$

$$x=3$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Die Variable x kann nicht gleich -\frac{1}{3} sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 3x+1.

$$\left(3x+1\right)\times 4-8=3x^{2}+5$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 3x+1 mit 4 zu multiplizieren.

$$12x+4-8=3x^{2}+5$$

Subtrahieren Sie 8 von 4, um -4 zu erhalten.

$$12x-4=3x^{2}+5$$

Subtrahieren Sie 3x^{2} von beiden Seiten.

$$12x-4-3x^{2}=5$$

Subtrahieren Sie 5 von beiden Seiten.

$$12x-4-3x^{2}-5=0$$

Subtrahieren Sie 5 von -4, um -9 zu erhalten.

$$12x-9-3x^{2}=0$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$4x-3-x^{2}=0$$

Ordnen Sie das Polynom neu an, um es in die Standardform zu bringen. Platzieren Sie die Terme in der Reihenfolge von der höchsten zur niedrigsten Potenz.

$$-x^{2}+4x-3=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als -x^{2}+ax+bx-3 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=4 ab=-\left(-3\right)=3$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Das einzige derartige Paar ist die Lösung des Systems.

$$a=3 b=1$$

-x^{2}+4x-3 als \left(-x^{2}+3x\right)+\left(x-3\right) umschreiben.

$$\left(-x^{2}+3x\right)+\left(x-3\right)$$

Klammern Sie -x in -x^{2}+3x aus.

$$-x\left(x-3\right)+x-3$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-3 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-3\right)\left(-x+1\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-3=0 und -x+1=0.

$$x=3 x=1$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Die Variable x kann nicht gleich -\frac{1}{3} sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 3x+1.

$$\left(3x+1\right)\times 4-8=3x^{2}+5$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 3x+1 mit 4 zu multiplizieren.

$$12x+4-8=3x^{2}+5$$

Subtrahieren Sie 8 von 4, um -4 zu erhalten.

$$12x-4=3x^{2}+5$$

Subtrahieren Sie 3x^{2} von beiden Seiten.

$$12x-4-3x^{2}=5$$

Subtrahieren Sie 5 von beiden Seiten.

$$12x-4-3x^{2}-5=0$$

Subtrahieren Sie 5 von -4, um -9 zu erhalten.

$$12x-9-3x^{2}=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-3x^{2}+12x-9=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -3, b durch 12 und c durch -9, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\left(-3\right)\left(-9\right)}}{2\left(-3\right)}$$

12 zum Quadrat.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\left(-3\right)\left(-9\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -3.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+12\left(-9\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplizieren Sie 12 mit -9.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-108}}{2\left(-3\right)}$$

Addieren Sie 144 zu -108.

$$x=\frac{-12±\sqrt{36}}{2\left(-3\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 36.

$$x=\frac{-12±6}{2\left(-3\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -3.

$$x=\frac{-12±6}{-6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-12±6}{-6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -12 zu 6.

$$x=-\frac{6}{-6}$$

Dividieren Sie -6 durch -6.

$$x=1$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-12±6}{-6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 6 von -12.

$$x=-\frac{18}{-6}$$

Dividieren Sie -18 durch -6.

$$x=3$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=1 x=3$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Die Variable x kann nicht gleich -\frac{1}{3} sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 3x+1.

$$\left(3x+1\right)\times 4-8=3x^{2}+5$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 3x+1 mit 4 zu multiplizieren.

$$12x+4-8=3x^{2}+5$$

Subtrahieren Sie 8 von 4, um -4 zu erhalten.

$$12x-4=3x^{2}+5$$

Subtrahieren Sie 3x^{2} von beiden Seiten.

$$12x-4-3x^{2}=5$$

Auf beiden Seiten 4 addieren.

$$12x-3x^{2}=5+4$$

Addieren Sie 5 und 4, um 9 zu erhalten.

$$12x-3x^{2}=9$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-3x^{2}+12x=9$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -3.

$$\frac{-3x^{2}+12x}{-3}=\frac{9}{-3}$$

Division durch -3 macht die Multiplikation mit -3 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{12}{-3}x=\frac{9}{-3}$$

Dividieren Sie 12 durch -3.

$$x^{2}-4x=\frac{9}{-3}$$

Dividieren Sie 9 durch -3.

$$x^{2}-4x=-3$$

Dividieren Sie -4, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -2 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -2 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-3+\left(-2\right)^{2}$$

-2 zum Quadrat.

$$x^{2}-4x+4=-3+4$$

Addieren Sie -3 zu 4.

$$x^{2}-4x+4=1$$

Faktor x^{2}-4x+4. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(x-2\right)^{2}=1$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Vereinfachen.

$$x-2=1 x-2=-1$$

Addieren Sie 2 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=3 x=1$$