4(x^2+2x)+1/x^2+2x=-5 lösen

$$4 ( x ^ { 2 } + 2 x ) + \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 2 x } = - 5$$

Nach x auflösen

$$x=-\frac{\sqrt{3}}{2}-1\approx -1,866025404$$

$$x=\frac{\sqrt{3}}{2}-1\approx -0,133974596$$

$$x=-1$$

Lösungsschritte

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "-2,0" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit x\left(x+2\right).

$$4\left(x^{2}+2x\right)x\left(x+2\right)+1=-5x\left(x+2\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 4 mit x^{2}+2x zu multiplizieren.

$$\left(4x^{2}+8x\right)x\left(x+2\right)+1=-5x\left(x+2\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 4x^{2}+8x mit x zu multiplizieren.

$$\left(4x^{3}+8x^{2}\right)\left(x+2\right)+1=-5x\left(x+2\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 4x^{3}+8x^{2} mit x+2 zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$4x^{4}+16x^{3}+16x^{2}+1=-5x\left(x+2\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um -5x mit x+2 zu multiplizieren.

$$4x^{4}+16x^{3}+16x^{2}+1=-5x^{2}-10x$$

Auf beiden Seiten 5x^{2} addieren.

$$4x^{4}+16x^{3}+16x^{2}+1+5x^{2}=-10x$$

Kombinieren Sie 16x^{2} und 5x^{2}, um 21x^{2} zu erhalten.

$$4x^{4}+16x^{3}+21x^{2}+1=-10x$$

Auf beiden Seiten 10x addieren.

$$4x^{4}+16x^{3}+21x^{2}+1+10x=0$$

Ordnen Sie die Gleichung neu an, um sie in die Standardform zu bringen. Platzieren Sie die Terme in der Reihenfolge von der höchsten zur niedrigsten Potenz.

$$4x^{4}+16x^{3}+21x^{2}+10x+1=0$$

Laut dem Satz über rationale Nullstellen (Rational Root Theorem) haben alle rationalen Nullstellen eines Polynoms die Form \frac{p}{q}, wobei der konstante Ausdruck 1 durch p dividiert wird und der Leitkoeffizient 4 durch q. Listen Sie alle Kandidaten \frac{p}{q} auf.

$$±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Finden Sie eine solche Wurzel, indem Sie alle ganzzahligen Werte ausprobieren, beginnend mit dem gemäß dem absoluten Wert kleinsten. Wenn keine ganzzahligen Wurzeln gefunden werden, probieren Sie Brüche aus.

$$x=-1$$

Bei Faktorisieren Lehrsatz ist x-k ein Faktor des Polynoms für jede Stamm k. Dividieren Sie 4x^{4}+16x^{3}+21x^{2}+10x+1 durch x+1, um 4x^{3}+12x^{2}+9x+1 zu erhalten. Lösen Sie die Gleichung so auf, dass das Ergebnis gleich 0 ist.

$$4x^{3}+12x^{2}+9x+1=0$$

Laut dem Satz über rationale Nullstellen (Rational Root Theorem) haben alle rationalen Nullstellen eines Polynoms die Form \frac{p}{q}, wobei der konstante Ausdruck 1 durch p dividiert wird und der Leitkoeffizient 4 durch q. Listen Sie alle Kandidaten \frac{p}{q} auf.

$$±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Finden Sie eine solche Wurzel, indem Sie alle ganzzahligen Werte ausprobieren, beginnend mit dem gemäß dem absoluten Wert kleinsten. Wenn keine ganzzahligen Wurzeln gefunden werden, probieren Sie Brüche aus.

$$x=-1$$

Bei Faktorisieren Lehrsatz ist x-k ein Faktor des Polynoms für jede Stamm k. Dividieren Sie 4x^{3}+12x^{2}+9x+1 durch x+1, um 4x^{2}+8x+1 zu erhalten. Lösen Sie die Gleichung so auf, dass das Ergebnis gleich 0 ist.

$$4x^{2}+8x+1=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 4, b durch 8 und c durch 1.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 4\times 1}}{2\times 4}$$

Berechnungen ausführen.

$$x=\frac{-8±4\sqrt{3}}{8}$$

Lösen Sie die Gleichung 4x^{2}+8x+1=0, wenn ± Plus ist und wenn ± minus ist.

$$x=-\frac{\sqrt{3}}{2}-1 x=\frac{\sqrt{3}}{2}-1$$

Alle gefundenen Lösungen auflisten

$$x=-1 x=-\frac{\sqrt{3}}{2}-1 x=\frac{\sqrt{3}}{2}-1$$