4(x+1)^2-169=0 lösen

$$4 ( x + 1 ) ^ { 2 } - 169 = 0$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{11}{2} = 5\frac{1}{2} = 5,5$$

$$x = -\frac{15}{2} = -7\frac{1}{2} = -7,5$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

\left(x+1\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$4\left(x^{2}+2x+1\right)-169=0$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 4 mit x^{2}+2x+1 zu multiplizieren.

$$4x^{2}+8x+4-169=0$$

Subtrahieren Sie 169 von 4, um -165 zu erhalten.

$$4x^{2}+8x-165=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 4x^{2}+ax+bx-165 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=8 ab=4\left(-165\right)=-660$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -660 ergeben.

$$-1,660 -2,330 -3,220 -4,165 -5,132 -6,110 -10,66 -11,60 -12,55 -15,44 -20,33 -22,30$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+660=659 -2+330=328 -3+220=217 -4+165=161 -5+132=127 -6+110=104 -10+66=56 -11+60=49 -12+55=43 -15+44=29 -20+33=13 -22+30=8$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 8 ergibt.

$$a=-22 b=30$$

4x^{2}+8x-165 als \left(4x^{2}-22x\right)+\left(30x-165\right) umschreiben.

$$\left(4x^{2}-22x\right)+\left(30x-165\right)$$

Klammern Sie 2x in der ersten und 15 in der zweiten Gruppe aus.

$$2x\left(2x-11\right)+15\left(2x-11\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 2x-11 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(2x-11\right)\left(2x+15\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 2x-11=0 und 2x+15=0.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

\left(x+1\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$4\left(x^{2}+2x+1\right)-169=0$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 4 mit x^{2}+2x+1 zu multiplizieren.

$$4x^{2}+8x+4-169=0$$

Subtrahieren Sie 169 von 4, um -165 zu erhalten.

$$4x^{2}+8x-165=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 4, b durch 8 und c durch -165, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 4\left(-165\right)}}{2\times 4}$$

8 zum Quadrat.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 4\left(-165\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 4.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-16\left(-165\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -16 mit -165.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+2640}}{2\times 4}$$

Addieren Sie 64 zu 2640.

$$x=\frac{-8±\sqrt{2704}}{2\times 4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 2704.

$$x=\frac{-8±52}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 4.

$$x=\frac{-8±52}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-8±52}{8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -8 zu 52.

$$x=\frac{44}{8}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{44}{8} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{11}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-8±52}{8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 52 von -8.

$$x=-\frac{60}{8}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-60}{8} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{15}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

\left(x+1\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$4\left(x^{2}+2x+1\right)-169=0$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 4 mit x^{2}+2x+1 zu multiplizieren.

$$4x^{2}+8x+4-169=0$$

Subtrahieren Sie 169 von 4, um -165 zu erhalten.

$$4x^{2}+8x-165=0$$

Auf beiden Seiten 165 addieren. Eine beliebige Zahl plus null ergibt sich selbst.

$$4x^{2}+8x=165$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 4.

$$\frac{4x^{2}+8x}{4}=\frac{165}{4}$$

Division durch 4 macht die Multiplikation mit 4 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{8}{4}x=\frac{165}{4}$$

Dividieren Sie 8 durch 4.

$$x^{2}+2x=\frac{165}{4}$$

Dividieren Sie 2, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um 1 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von 1 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+2x+1^{2}=\frac{165}{4}+1^{2}$$

1 zum Quadrat.

$$x^{2}+2x+1=\frac{165}{4}+1$$

Addieren Sie \frac{165}{4} zu 1.

$$x^{2}+2x+1=\frac{169}{4}$$

Faktor x^{2}+2x+1. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+1\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x+1=\frac{13}{2} x+1=-\frac{13}{2}$$

1 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$$