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4z^{2}+60z=600
Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.
4z^{2}+60z-600=600-600
600 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.
4z^{2}+60z-600=0
Die Subtraktion von 600 von sich selbst ergibt 0.
z=\frac{-60±\sqrt{60^{2}-4\times 4\left(-600\right)}}{2\times 4}
Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 4, b durch 60 und c durch -600, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
z=\frac{-60±\sqrt{3600-4\times 4\left(-600\right)}}{2\times 4}
60 zum Quadrat.
z=\frac{-60±\sqrt{3600-16\left(-600\right)}}{2\times 4}
Multiplizieren Sie -4 mit 4.
z=\frac{-60±\sqrt{3600+9600}}{2\times 4}
Multiplizieren Sie -16 mit -600.
z=\frac{-60±\sqrt{13200}}{2\times 4}
Addieren Sie 3600 zu 9600.
z=\frac{-60±20\sqrt{33}}{2\times 4}
Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 13200.
z=\frac{-60±20\sqrt{33}}{8}
Multiplizieren Sie 2 mit 4.
z=\frac{20\sqrt{33}-60}{8}
Lösen Sie jetzt die Gleichung z=\frac{-60±20\sqrt{33}}{8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -60 zu 20\sqrt{33}.
z=\frac{5\sqrt{33}-15}{2}
Dividieren Sie -60+20\sqrt{33} durch 8.
z=\frac{-20\sqrt{33}-60}{8}
Lösen Sie jetzt die Gleichung z=\frac{-60±20\sqrt{33}}{8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 20\sqrt{33} von -60.
z=\frac{-5\sqrt{33}-15}{2}
Dividieren Sie -60-20\sqrt{33} durch 8.
z=\frac{5\sqrt{33}-15}{2} z=\frac{-5\sqrt{33}-15}{2}
Die Gleichung ist jetzt gelöst.
4z^{2}+60z=600
Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.
\frac{4z^{2}+60z}{4}=\frac{600}{4}
Dividieren Sie beide Seiten durch 4.
z^{2}+\frac{60}{4}z=\frac{600}{4}
Division durch 4 macht die Multiplikation mit 4 rückgängig.
z^{2}+15z=\frac{600}{4}
Dividieren Sie 60 durch 4.
z^{2}+15z=150
Dividieren Sie 600 durch 4.
z^{2}+15z+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}=150+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}
Dividieren Sie 15, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{15}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{15}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.
z^{2}+15z+\frac{225}{4}=150+\frac{225}{4}
Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{15}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.
z^{2}+15z+\frac{225}{4}=\frac{825}{4}
Addieren Sie 150 zu \frac{225}{4}.
\left(z+\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{825}{4}
Faktor z^{2}+15z+\frac{225}{4}. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.
\sqrt{\left(z+\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{825}{4}}
Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.
z+\frac{15}{2}=\frac{5\sqrt{33}}{2} z+\frac{15}{2}=-\frac{5\sqrt{33}}{2}
Vereinfachen.
z=\frac{5\sqrt{33}-15}{2} z=\frac{-5\sqrt{33}-15}{2}
\frac{15}{2} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.