4x^2-x-3 lösen

$$4 { x }^{ 2 } -x-3$$

Faktorisieren

$$\left(x-1\right)\left(4x+3\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 4x^{2}+ax+bx-3 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-1 ab=4\left(-3\right)=-12$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -12 ergeben.

$$1,-12 2,-6 3,-4$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-12=-11 2-6=-4 3-4=-1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -1 ergibt.

$$a=-4 b=3$$

4x^{2}-x-3 als \left(4x^{2}-4x\right)+\left(3x-3\right) umschreiben.

$$\left(4x^{2}-4x\right)+\left(3x-3\right)$$

Klammern Sie 4x in der ersten und 3 in der zweiten Gruppe aus.

$$4x\left(x-1\right)+3\left(x-1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-1\right)\left(4x+3\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$4x^{2}-x-3=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 4.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-16\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -16 mit -3.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+48}}{2\times 4}$$

Addieren Sie 1 zu 48.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{49}}{2\times 4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 49.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±7}{2\times 4}$$

Das Gegenteil von -1 ist 1.

$$x=\frac{1±7}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 4.

$$x=\frac{1±7}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{1±7}{8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 1 zu 7.

$$x=\frac{8}{8}$$

Dividieren Sie 8 durch 8.

$$x=1$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{1±7}{8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 7 von 1.

$$x=-\frac{6}{8}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-6}{8} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} 1 und für x_{2} -\frac{3}{4} ein.

$$4x^{2}-x-3=4\left(x-1\right)\left(x-\left(-\frac{3}{4}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$4x^{2}-x-3=4\left(x-1\right)\left(x+\frac{3}{4}\right)$$

Addieren Sie \frac{3}{4} zu x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$4x^{2}-x-3=4\left(x-1\right)\times \frac{4x+3}{4}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 4 in 4 und 4 aufheben.

$$4x^{2}-x-3=\left(x-1\right)\left(4x+3\right)$$

Auswerten

$$\left(x-1\right)\left(4x+3\right)$$