4x^2-7x-2 lösen

$$4 { x }^{ 2 } -7x-2$$

Faktorisieren

$$\left(x-2\right)\left(4x+1\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 4x^{2}+ax+bx-2 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-7 ab=4\left(-2\right)=-8$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -8 ergeben.

$$1,-8 2,-4$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-8=-7 2-4=-2$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -7 ergibt.

$$a=-8 b=1$$

4x^{2}-7x-2 als \left(4x^{2}-8x\right)+\left(x-2\right) umschreiben.

$$\left(4x^{2}-8x\right)+\left(x-2\right)$$

Klammern Sie 4x in 4x^{2}-8x aus.

$$4x\left(x-2\right)+x-2$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-2 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-2\right)\left(4x+1\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$4x^{2}-7x-2=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\left(-2\right)}}{2\times 4}$$

-7 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\left(-2\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 4.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\left(-2\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -16 mit -2.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+32}}{2\times 4}$$

Addieren Sie 49 zu 32.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{81}}{2\times 4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 81.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±9}{2\times 4}$$

Das Gegenteil von -7 ist 7.

$$x=\frac{7±9}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 4.

$$x=\frac{7±9}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{7±9}{8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 7 zu 9.

$$x=\frac{16}{8}$$

Dividieren Sie 16 durch 8.

$$x=2$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{7±9}{8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 9 von 7.

$$x=-\frac{2}{8}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-2}{8} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{1}{4}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} 2 und für x_{2} -\frac{1}{4} ein.

$$4x^{2}-7x-2=4\left(x-2\right)\left(x-\left(-\frac{1}{4}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$4x^{2}-7x-2=4\left(x-2\right)\left(x+\frac{1}{4}\right)$$

Addieren Sie \frac{1}{4} zu x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$4x^{2}-7x-2=4\left(x-2\right)\times \frac{4x+1}{4}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 4 in 4 und 4 aufheben.

$$4x^{2}-7x-2=\left(x-2\right)\left(4x+1\right)$$

Auswerten

$$\left(x-2\right)\left(4x+1\right)$$