4x^2-4x-16=0 lösen

$$4 { x }^{ 2 } -4x-16=0$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{\sqrt{17} + 1}{2} \approx 2,561552813$$

$$x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}\approx -1,561552813$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$4x^{2}-4x-16=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 4, b durch -4 und c durch -16, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-16\right)}}{2\times 4}$$

-4 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-16\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-16\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -16 mit -16.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+256}}{2\times 4}$$

Addieren Sie 16 zu 256.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{272}}{2\times 4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 272.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±4\sqrt{17}}{2\times 4}$$

Das Gegenteil von -4 ist 4.

$$x=\frac{4±4\sqrt{17}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 4.

$$x=\frac{4±4\sqrt{17}}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{4±4\sqrt{17}}{8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 4 zu 4\sqrt{17}.

$$x=\frac{4\sqrt{17}+4}{8}$$

Dividieren Sie 4+4\sqrt{17} durch 8.

$$x=\frac{\sqrt{17}+1}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{4±4\sqrt{17}}{8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 4\sqrt{17} von 4.

$$x=\frac{4-4\sqrt{17}}{8}$$

Dividieren Sie 4-4\sqrt{17} durch 8.

$$x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{17}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$4x^{2}-4x-16=0$$

Addieren Sie 16 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$4x^{2}-4x-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

Die Subtraktion von -16 von sich selbst ergibt 0.

$$4x^{2}-4x=-\left(-16\right)$$

Subtrahieren Sie -16 von 0.

$$4x^{2}-4x=16$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 4.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=\frac{16}{4}$$

Division durch 4 macht die Multiplikation mit 4 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=\frac{16}{4}$$

Dividieren Sie -4 durch 4.

$$x^{2}-x=\frac{16}{4}$$

Dividieren Sie 16 durch 4.

$$x^{2}-x=4$$

Dividieren Sie -1, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{1}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{1}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=4+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{1}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=4+\frac{1}{4}$$

Addieren Sie 4 zu \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{17}{4}$$

Faktor x^{2}-x+\frac{1}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{17}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{17}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{17}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{17}}{2}$$

Addieren Sie \frac{1}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{\sqrt{17}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$$