4x^2-3x-7=0 lösen

$$4 { x }^{ 2 } -3x-7=0$$

Nach x auflösen

$$x=-1$$

$$x = \frac{7}{4} = 1\frac{3}{4} = 1,75$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 4x^{2}+ax+bx-7 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-3 ab=4\left(-7\right)=-28$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -28 ergeben.

$$1,-28 2,-14 4,-7$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-28=-27 2-14=-12 4-7=-3$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -3 ergibt.

$$a=-7 b=4$$

4x^{2}-3x-7 als \left(4x^{2}-7x\right)+\left(4x-7\right) umschreiben.

$$\left(4x^{2}-7x\right)+\left(4x-7\right)$$

Klammern Sie x in 4x^{2}-7x aus.

$$x\left(4x-7\right)+4x-7$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 4x-7 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(4x-7\right)\left(x+1\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 4x-7=0 und x+1=0.

$$x=\frac{7}{4} x=-1$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$4x^{2}-3x-7=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 4, b durch -3 und c durch -7, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 4\left(-7\right)}}{2\times 4}$$

-3 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 4\left(-7\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 4.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-16\left(-7\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -16 mit -7.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+112}}{2\times 4}$$

Addieren Sie 9 zu 112.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{121}}{2\times 4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 121.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±11}{2\times 4}$$

Das Gegenteil von -3 ist 3.

$$x=\frac{3±11}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 4.

$$x=\frac{3±11}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{3±11}{8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 3 zu 11.

$$x=\frac{14}{8}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{14}{8} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{7}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{3±11}{8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 11 von 3.

$$x=-\frac{8}{8}$$

Dividieren Sie -8 durch 8.

$$x=-1$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{7}{4} x=-1$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$4x^{2}-3x-7=0$$

Addieren Sie 7 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$4x^{2}-3x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Die Subtraktion von -7 von sich selbst ergibt 0.

$$4x^{2}-3x=-\left(-7\right)$$

Subtrahieren Sie -7 von 0.

$$4x^{2}-3x=7$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 4.

$$\frac{4x^{2}-3x}{4}=\frac{7}{4}$$

Division durch 4 macht die Multiplikation mit 4 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x=\frac{7}{4}$$

Dividieren Sie -\frac{3}{4}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{3}{8} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{3}{8} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x+\left(-\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{7}{4}+\left(-\frac{3}{8}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{3}{8}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=\frac{7}{4}+\frac{9}{64}$$

Addieren Sie \frac{7}{4} zu \frac{9}{64}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=\frac{121}{64}$$

Faktor x^{2}-\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{121}{64}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{64}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{3}{8}=\frac{11}{8} x-\frac{3}{8}=-\frac{11}{8}$$

Addieren Sie \frac{3}{8} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{7}{4} x=-1$$