4x^2-3x+10=0 lösen

$$4 { x }^{ 2 } -3x+10=0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{3+\sqrt{151}i}{8}\approx 0,375+1,536025716i$$

$$x=\frac{-\sqrt{151}i+3}{8}\approx 0,375-1,536025716i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$4x^{2}-3x+10=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 4, b durch -3 und c durch 10, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 4\times 10}}{2\times 4}$$

-3 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 4\times 10}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 4.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-16\times 10}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -16 mit 10.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-160}}{2\times 4}$$

Addieren Sie 9 zu -160.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{-151}}{2\times 4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -151.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{151}i}{2\times 4}$$

Das Gegenteil von -3 ist 3.

$$x=\frac{3±\sqrt{151}i}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 4.

$$x=\frac{3±\sqrt{151}i}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{3±\sqrt{151}i}{8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 3 zu i\sqrt{151}.

$$x=\frac{3+\sqrt{151}i}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{3±\sqrt{151}i}{8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie i\sqrt{151} von 3.

$$x=\frac{-\sqrt{151}i+3}{8}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{3+\sqrt{151}i}{8} x=\frac{-\sqrt{151}i+3}{8}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$4x^{2}-3x+10=0$$

10 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$4x^{2}-3x+10-10=-10$$

Die Subtraktion von 10 von sich selbst ergibt 0.

$$4x^{2}-3x=-10$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 4.

$$\frac{4x^{2}-3x}{4}=-\frac{10}{4}$$

Division durch 4 macht die Multiplikation mit 4 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x=-\frac{10}{4}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-10}{4} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x=-\frac{5}{2}$$

Dividieren Sie -\frac{3}{4}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{3}{8} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{3}{8} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x+\left(-\frac{3}{8}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(-\frac{3}{8}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{3}{8}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=-\frac{5}{2}+\frac{9}{64}$$

Addieren Sie -\frac{5}{2} zu \frac{9}{64}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=-\frac{151}{64}$$

Faktor x^{2}-\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{3}{8}\right)^{2}=-\frac{151}{64}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{151}{64}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{3}{8}=\frac{\sqrt{151}i}{8} x-\frac{3}{8}=-\frac{\sqrt{151}i}{8}$$

Addieren Sie \frac{3}{8} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{3+\sqrt{151}i}{8} x=\frac{-\sqrt{151}i+3}{8}$$