4x^2-32x+15=0 lösen

$$4 { x }^{ 2 } -32x+15=0$$

Nach x auflösen

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

$$x = \frac{15}{2} = 7\frac{1}{2} = 7,5$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 4x^{2}+ax+bx+15 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-32 ab=4\times 15=60$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 60 ergeben.

$$-1,-60 -2,-30 -3,-20 -4,-15 -5,-12 -6,-10$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-60=-61 -2-30=-32 -3-20=-23 -4-15=-19 -5-12=-17 -6-10=-16$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -32 ergibt.

$$a=-30 b=-2$$

4x^{2}-32x+15 als \left(4x^{2}-30x\right)+\left(-2x+15\right) umschreiben.

$$\left(4x^{2}-30x\right)+\left(-2x+15\right)$$

Klammern Sie 2x in der ersten und -1 in der zweiten Gruppe aus.

$$2x\left(2x-15\right)-\left(2x-15\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 2x-15 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(2x-15\right)\left(2x-1\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 2x-15=0 und 2x-1=0.

$$x=\frac{15}{2} x=\frac{1}{2}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$4x^{2}-32x+15=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 4, b durch -32 und c durch 15, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 4\times 15}}{2\times 4}$$

-32 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 4\times 15}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 4.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-16\times 15}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -16 mit 15.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-240}}{2\times 4}$$

Addieren Sie 1024 zu -240.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{784}}{2\times 4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 784.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±28}{2\times 4}$$

Das Gegenteil von -32 ist 32.

$$x=\frac{32±28}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 4.

$$x=\frac{32±28}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{32±28}{8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 32 zu 28.

$$x=\frac{60}{8}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{60}{8} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{15}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{32±28}{8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 28 von 32.

$$x=\frac{4}{8}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{4}{8} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{1}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{15}{2} x=\frac{1}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$4x^{2}-32x+15=0$$

15 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$4x^{2}-32x+15-15=-15$$

Die Subtraktion von 15 von sich selbst ergibt 0.

$$4x^{2}-32x=-15$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 4.

$$\frac{4x^{2}-32x}{4}=-\frac{15}{4}$$

Division durch 4 macht die Multiplikation mit 4 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{32}{4}\right)x=-\frac{15}{4}$$

Dividieren Sie -32 durch 4.

$$x^{2}-8x=-\frac{15}{4}$$

Dividieren Sie -8, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -4 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -4 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=-\frac{15}{4}+\left(-4\right)^{2}$$

-4 zum Quadrat.

$$x^{2}-8x+16=-\frac{15}{4}+16$$

Addieren Sie -\frac{15}{4} zu 16.

$$x^{2}-8x+16=\frac{49}{4}$$

Faktor x^{2}-8x+16. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-4\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x-4=\frac{7}{2} x-4=-\frac{7}{2}$$

Addieren Sie 4 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{15}{2} x=\frac{1}{2}$$