4x^2-2x+8=0 lösen

$$4 { x }^{ 2 } -2x+8=0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{1+\sqrt{31}i}{4}\approx 0,25+1,391941091i$$

$$x=\frac{-\sqrt{31}i+1}{4}\approx 0,25-1,391941091i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$4x^{2}-2x+8=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 4, b durch -2 und c durch 8, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 4\times 8}}{2\times 4}$$

-2 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 4\times 8}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-16\times 8}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -16 mit 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-128}}{2\times 4}$$

Addieren Sie 4 zu -128.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-124}}{2\times 4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -124.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{31}i}{2\times 4}$$

Das Gegenteil von -2 ist 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{31}i}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 4.

$$x=\frac{2±2\sqrt{31}i}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{2±2\sqrt{31}i}{8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 2 zu 2i\sqrt{31}.

$$x=\frac{2+2\sqrt{31}i}{8}$$

Dividieren Sie 2+2i\sqrt{31} durch 8.

$$x=\frac{1+\sqrt{31}i}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{2±2\sqrt{31}i}{8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2i\sqrt{31} von 2.

$$x=\frac{-2\sqrt{31}i+2}{8}$$

Dividieren Sie 2-2i\sqrt{31} durch 8.

$$x=\frac{-\sqrt{31}i+1}{4}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{1+\sqrt{31}i}{4} x=\frac{-\sqrt{31}i+1}{4}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$4x^{2}-2x+8=0$$

8 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$4x^{2}-2x+8-8=-8$$

Die Subtraktion von 8 von sich selbst ergibt 0.

$$4x^{2}-2x=-8$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 4.

$$\frac{4x^{2}-2x}{4}=-\frac{8}{4}$$

Division durch 4 macht die Multiplikation mit 4 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{4}\right)x=-\frac{8}{4}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-2}{4} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=-\frac{8}{4}$$

Dividieren Sie -8 durch 4.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=-2$$

Dividieren Sie -\frac{1}{2}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{1}{4} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{1}{4} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=-2+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{1}{4}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-2+\frac{1}{16}$$

Addieren Sie -2 zu \frac{1}{16}.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{31}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{31}{16}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{31}{16}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{31}i}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{31}i}{4}$$

Addieren Sie \frac{1}{4} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{1+\sqrt{31}i}{4} x=\frac{-\sqrt{31}i+1}{4}$$