4x^2-28x+40 lösen

$$4 { x }^{ 2 } -28x+40$$

Faktorisieren

$$4\left(x-5\right)\left(x-2\right)$$

Lösungsschritte

Klammern Sie 4 aus.

$$4\left(x^{2}-7x+10\right)$$

Betrachten Sie x^{2}-7x+10. Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als x^{2}+ax+bx+10 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-7 ab=1\times 10=10$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 10 ergeben.

$$-1,-10 -2,-5$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-10=-11 -2-5=-7$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -7 ergibt.

$$a=-5 b=-2$$

x^{2}-7x+10 als \left(x^{2}-5x\right)+\left(-2x+10\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(-2x+10\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und -2 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x-5\right)-2\left(x-5\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-5 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-5\right)\left(x-2\right)$$

Schreiben Sie den vollständigen, faktorisierten Ausdruck um.

$$4\left(x-5\right)\left(x-2\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$4x^{2}-28x+40=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{\left(-28\right)^{2}-4\times 4\times 40}}{2\times 4}$$

-28 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-4\times 4\times 40}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 4.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-16\times 40}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -16 mit 40.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-640}}{2\times 4}$$

Addieren Sie 784 zu -640.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{144}}{2\times 4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 144.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±12}{2\times 4}$$

Das Gegenteil von -28 ist 28.

$$x=\frac{28±12}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 4.

$$x=\frac{28±12}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{28±12}{8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 28 zu 12.

$$x=\frac{40}{8}$$

Dividieren Sie 40 durch 8.

$$x=5$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{28±12}{8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 12 von 28.

$$x=\frac{16}{8}$$

Dividieren Sie 16 durch 8.

$$x=2$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} 5 und für x_{2} 2 ein.

$$4x^{2}-28x+40=4\left(x-5\right)\left(x-2\right)$$

Auswerten

$$4\left(x-5\right)\left(x-2\right)$$