4x^2-21x-18 lösen

$$4 { x }^{ 2 } -21x-18$$

Faktorisieren

$$\left(x-6\right)\left(4x+3\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 4x^{2}+ax+bx-18 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-21 ab=4\left(-18\right)=-72$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -72 ergeben.

$$1,-72 2,-36 3,-24 4,-18 6,-12 8,-9$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-72=-71 2-36=-34 3-24=-21 4-18=-14 6-12=-6 8-9=-1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -21 ergibt.

$$a=-24 b=3$$

4x^{2}-21x-18 als \left(4x^{2}-24x\right)+\left(3x-18\right) umschreiben.

$$\left(4x^{2}-24x\right)+\left(3x-18\right)$$

Klammern Sie 4x in der ersten und 3 in der zweiten Gruppe aus.

$$4x\left(x-6\right)+3\left(x-6\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-6 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-6\right)\left(4x+3\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$4x^{2}-21x-18=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\times 4\left(-18\right)}}{2\times 4}$$

-21 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-4\times 4\left(-18\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 4.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-16\left(-18\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -16 mit -18.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441+288}}{2\times 4}$$

Addieren Sie 441 zu 288.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{729}}{2\times 4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 729.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±27}{2\times 4}$$

Das Gegenteil von -21 ist 21.

$$x=\frac{21±27}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 4.

$$x=\frac{21±27}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{21±27}{8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 21 zu 27.

$$x=\frac{48}{8}$$

Dividieren Sie 48 durch 8.

$$x=6$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{21±27}{8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 27 von 21.

$$x=-\frac{6}{8}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-6}{8} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} 6 und für x_{2} -\frac{3}{4} ein.

$$4x^{2}-21x-18=4\left(x-6\right)\left(x-\left(-\frac{3}{4}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$4x^{2}-21x-18=4\left(x-6\right)\left(x+\frac{3}{4}\right)$$

Addieren Sie \frac{3}{4} zu x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$4x^{2}-21x-18=4\left(x-6\right)\times \frac{4x+3}{4}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 4 in 4 und 4 aufheben.

$$4x^{2}-21x-18=\left(x-6\right)\left(4x+3\right)$$

Auswerten

$$\left(x-6\right)\left(4x+3\right)$$