4x^2-16x+33=0 lösen

$$4 { x }^{ 2 } -16x+33=0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{\sqrt{17}i}{2}+2\approx 2+2,061552813i$$

$$x=-\frac{\sqrt{17}i}{2}+2\approx 2-2,061552813i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$4x^{2}-16x+33=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 4, b durch -16 und c durch 33, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 4\times 33}}{2\times 4}$$

-16 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-4\times 4\times 33}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 4.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-16\times 33}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -16 mit 33.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-528}}{2\times 4}$$

Addieren Sie 256 zu -528.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{-272}}{2\times 4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -272.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±4\sqrt{17}i}{2\times 4}$$

Das Gegenteil von -16 ist 16.

$$x=\frac{16±4\sqrt{17}i}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 4.

$$x=\frac{16±4\sqrt{17}i}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{16±4\sqrt{17}i}{8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 16 zu 4i\sqrt{17}.

$$x=\frac{16+4\sqrt{17}i}{8}$$

Dividieren Sie 16+4i\sqrt{17} durch 8.

$$x=\frac{\sqrt{17}i}{2}+2$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{16±4\sqrt{17}i}{8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 4i\sqrt{17} von 16.

$$x=\frac{-4\sqrt{17}i+16}{8}$$

Dividieren Sie 16-4i\sqrt{17} durch 8.

$$x=-\frac{\sqrt{17}i}{2}+2$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{17}i}{2}+2 x=-\frac{\sqrt{17}i}{2}+2$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$4x^{2}-16x+33=0$$

33 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$4x^{2}-16x+33-33=-33$$

Die Subtraktion von 33 von sich selbst ergibt 0.

$$4x^{2}-16x=-33$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 4.

$$\frac{4x^{2}-16x}{4}=-\frac{33}{4}$$

Division durch 4 macht die Multiplikation mit 4 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{16}{4}\right)x=-\frac{33}{4}$$

Dividieren Sie -16 durch 4.

$$x^{2}-4x=-\frac{33}{4}$$

Dividieren Sie -4, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -2 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -2 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-\frac{33}{4}+\left(-2\right)^{2}$$

-2 zum Quadrat.

$$x^{2}-4x+4=-\frac{33}{4}+4$$

Addieren Sie -\frac{33}{4} zu 4.

$$x^{2}-4x+4=-\frac{17}{4}$$

Faktor x^{2}-4x+4. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-2\right)^{2}=-\frac{17}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{17}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x-2=\frac{\sqrt{17}i}{2} x-2=-\frac{\sqrt{17}i}{2}$$

Addieren Sie 2 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{\sqrt{17}i}{2}+2 x=-\frac{\sqrt{17}i}{2}+2$$