4x^2-11x-3 lösen

$$4 { x }^{ 2 } -11x-3$$

Faktorisieren

$$\left(x-3\right)\left(4x+1\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 4x^{2}+ax+bx-3 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-11 ab=4\left(-3\right)=-12$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -12 ergeben.

$$1,-12 2,-6 3,-4$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-12=-11 2-6=-4 3-4=-1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -11 ergibt.

$$a=-12 b=1$$

4x^{2}-11x-3 als \left(4x^{2}-12x\right)+\left(x-3\right) umschreiben.

$$\left(4x^{2}-12x\right)+\left(x-3\right)$$

Klammern Sie 4x in 4x^{2}-12x aus.

$$4x\left(x-3\right)+x-3$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-3 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-3\right)\left(4x+1\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$4x^{2}-11x-3=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

-11 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 4.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-16\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -16 mit -3.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+48}}{2\times 4}$$

Addieren Sie 121 zu 48.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{169}}{2\times 4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 169.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±13}{2\times 4}$$

Das Gegenteil von -11 ist 11.

$$x=\frac{11±13}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 4.

$$x=\frac{11±13}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{11±13}{8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 11 zu 13.

$$x=\frac{24}{8}$$

Dividieren Sie 24 durch 8.

$$x=3$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{11±13}{8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 13 von 11.

$$x=-\frac{2}{8}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-2}{8} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{1}{4}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} 3 und für x_{2} -\frac{1}{4} ein.

$$4x^{2}-11x-3=4\left(x-3\right)\left(x-\left(-\frac{1}{4}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$4x^{2}-11x-3=4\left(x-3\right)\left(x+\frac{1}{4}\right)$$

Addieren Sie \frac{1}{4} zu x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$4x^{2}-11x-3=4\left(x-3\right)\times \frac{4x+1}{4}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 4 in 4 und 4 aufheben.

$$4x^{2}-11x-3=\left(x-3\right)\left(4x+1\right)$$

Auswerten

$$\left(x-3\right)\left(4x+1\right)$$