4x^2+4x=120 lösen

$$4 { x }^{ 2 } +4x=120$$

Nach x auflösen

$$x=-6$$

$$x=5$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Subtrahieren Sie 120 von beiden Seiten.

$$4x^{2}+4x-120=0$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 4.

$$x^{2}+x-30=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als x^{2}+ax+bx-30 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=1 ab=1\left(-30\right)=-30$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -30 ergeben.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 1 ergibt.

$$a=-5 b=6$$

x^{2}+x-30 als \left(x^{2}-5x\right)+\left(6x-30\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(6x-30\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 6 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x-5\right)+6\left(x-5\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-5 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-5\right)\left(x+6\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-5=0 und x+6=0.

$$x=5 x=-6$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$4x^{2}+4x=120$$

120 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$4x^{2}+4x-120=120-120$$

Die Subtraktion von 120 von sich selbst ergibt 0.

$$4x^{2}+4x-120=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 4, b durch 4 und c durch -120, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

4 zum Quadrat.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -16 mit -120.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+1920}}{2\times 4}$$

Addieren Sie 16 zu 1920.

$$x=\frac{-4±\sqrt{1936}}{2\times 4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 1936.

$$x=\frac{-4±44}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 4.

$$x=\frac{-4±44}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-4±44}{8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -4 zu 44.

$$x=\frac{40}{8}$$

Dividieren Sie 40 durch 8.

$$x=5$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-4±44}{8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 44 von -4.

$$x=-\frac{48}{8}$$

Dividieren Sie -48 durch 8.

$$x=-6$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=5 x=-6$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$4x^{2}+4x=120$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 4.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=\frac{120}{4}$$

Division durch 4 macht die Multiplikation mit 4 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=\frac{120}{4}$$

Dividieren Sie 4 durch 4.

$$x^{2}+x=\frac{120}{4}$$

Dividieren Sie 120 durch 4.

$$x^{2}+x=30$$

Dividieren Sie 1, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{1}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{1}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=30+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{1}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=30+\frac{1}{4}$$

Addieren Sie 30 zu \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{121}{4}$$

Faktor x^{2}+x+\frac{1}{4}. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{11}{2}$$

\frac{1}{2} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=5 x=-6$$