4t^2+3t=1 lösen

$$4 { t }^{ 2 } +3t = 1$$

Nach t auflösen

$$t=-1$$

$$t=\frac{1}{4}=0,25$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Subtrahieren Sie 1 von beiden Seiten.

$$4t^{2}+3t-1=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 4t^{2}+at+bt-1 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=3 ab=4\left(-1\right)=-4$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -4 ergeben.

$$-1,4 -2,2$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+4=3 -2+2=0$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 3 ergibt.

$$a=-1 b=4$$

4t^{2}+3t-1 als \left(4t^{2}-t\right)+\left(4t-1\right) umschreiben.

$$\left(4t^{2}-t\right)+\left(4t-1\right)$$

Klammern Sie t in 4t^{2}-t aus.

$$t\left(4t-1\right)+4t-1$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 4t-1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(4t-1\right)\left(t+1\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 4t-1=0 und t+1=0.

$$t=\frac{1}{4} t=-1$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$4t^{2}+3t=1$$

1 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$4t^{2}+3t-1=1-1$$

Die Subtraktion von 1 von sich selbst ergibt 0.

$$4t^{2}+3t-1=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 4, b durch 3 und c durch -1, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

3 zum Quadrat.

$$t=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 4.

$$t=\frac{-3±\sqrt{9-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -16 mit -1.

$$t=\frac{-3±\sqrt{9+16}}{2\times 4}$$

Addieren Sie 9 zu 16.

$$t=\frac{-3±\sqrt{25}}{2\times 4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 25.

$$t=\frac{-3±5}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 4.

$$t=\frac{-3±5}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung t=\frac{-3±5}{8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -3 zu 5.

$$t=\frac{2}{8}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{2}{8} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$t=\frac{1}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung t=\frac{-3±5}{8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 5 von -3.

$$t=-\frac{8}{8}$$

Dividieren Sie -8 durch 8.

$$t=-1$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$t=\frac{1}{4} t=-1$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$4t^{2}+3t=1$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 4.

$$\frac{4t^{2}+3t}{4}=\frac{1}{4}$$

Division durch 4 macht die Multiplikation mit 4 rückgängig.

$$t^{2}+\frac{3}{4}t=\frac{1}{4}$$

Dividieren Sie \frac{3}{4}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{3}{8} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{3}{8} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$t^{2}+\frac{3}{4}t+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{3}{8}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$t^{2}+\frac{3}{4}t+\frac{9}{64}=\frac{1}{4}+\frac{9}{64}$$

Addieren Sie \frac{1}{4} zu \frac{9}{64}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$t^{2}+\frac{3}{4}t+\frac{9}{64}=\frac{25}{64}$$

Faktor t^{2}+\frac{3}{4}t+\frac{9}{64}. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(t+\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{25}{64}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(t+\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{64}}$$

Vereinfachen.

$$t+\frac{3}{8}=\frac{5}{8} t+\frac{3}{8}=-\frac{5}{8}$$

\frac{3}{8} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$t=\frac{1}{4} t=-1$$