4a^2-5a+2=0 lösen

$$4 { a }^{ 2 } -5a+2 = 0$$

Nach a auflösen

$$a=\frac{5+\sqrt{7}i}{8}\approx 0,625+0,330718914i$$

$$a=\frac{-\sqrt{7}i+5}{8}\approx 0,625-0,330718914i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$4a^{2}-5a+2=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 4, b durch -5 und c durch 2, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4\times 2}}{2\times 4}$$

-5 zum Quadrat.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4\times 2}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 4.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16\times 2}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -16 mit 2.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-32}}{2\times 4}$$

Addieren Sie 25 zu -32.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{-7}}{2\times 4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -7.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{7}i}{2\times 4}$$

Das Gegenteil von -5 ist 5.

$$a=\frac{5±\sqrt{7}i}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 4.

$$a=\frac{5±\sqrt{7}i}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung a=\frac{5±\sqrt{7}i}{8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 5 zu i\sqrt{7}.

$$a=\frac{5+\sqrt{7}i}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung a=\frac{5±\sqrt{7}i}{8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie i\sqrt{7} von 5.

$$a=\frac{-\sqrt{7}i+5}{8}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$a=\frac{5+\sqrt{7}i}{8} a=\frac{-\sqrt{7}i+5}{8}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$4a^{2}-5a+2=0$$

2 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$4a^{2}-5a+2-2=-2$$

Die Subtraktion von 2 von sich selbst ergibt 0.

$$4a^{2}-5a=-2$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 4.

$$\frac{4a^{2}-5a}{4}=-\frac{2}{4}$$

Division durch 4 macht die Multiplikation mit 4 rückgängig.

$$a^{2}-\frac{5}{4}a=-\frac{2}{4}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-2}{4} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$a^{2}-\frac{5}{4}a=-\frac{1}{2}$$

Dividieren Sie -\frac{5}{4}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{5}{8} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{5}{8} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$a^{2}-\frac{5}{4}a+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{5}{8}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$a^{2}-\frac{5}{4}a+\frac{25}{64}=-\frac{1}{2}+\frac{25}{64}$$

Addieren Sie -\frac{1}{2} zu \frac{25}{64}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$a^{2}-\frac{5}{4}a+\frac{25}{64}=-\frac{7}{64}$$

Faktor a^{2}-\frac{5}{4}a+\frac{25}{64}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(a-\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{7}{64}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(a-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7}{64}}$$

Vereinfachen.

$$a-\frac{5}{8}=\frac{\sqrt{7}i}{8} a-\frac{5}{8}=-\frac{\sqrt{7}i}{8}$$

Addieren Sie \frac{5}{8} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$a=\frac{5+\sqrt{7}i}{8} a=\frac{-\sqrt{7}i+5}{8}$$