3x-5x^2=3 lösen

$$3x-5 { x }^{ 2 } =3$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{-\sqrt{51}i+3}{10}\approx 0,3-0,714142843i$$

$$x=\frac{3+\sqrt{51}i}{10}\approx 0,3+0,714142843i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-5x^{2}+3x=3$$

3 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$-5x^{2}+3x-3=3-3$$

Die Subtraktion von 3 von sich selbst ergibt 0.

$$-5x^{2}+3x-3=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -5, b durch 3 und c durch -3, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-5\right)\left(-3\right)}}{2\left(-5\right)}$$

3 zum Quadrat.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-5\right)\left(-3\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+20\left(-3\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Multiplizieren Sie 20 mit -3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-60}}{2\left(-5\right)}$$

Addieren Sie 9 zu -60.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-51}}{2\left(-5\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -51.

$$x=\frac{-3±\sqrt{51}i}{2\left(-5\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{51}i}{-10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-3±\sqrt{51}i}{-10}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -3 zu i\sqrt{51}.

$$x=\frac{-3+\sqrt{51}i}{-10}$$

Dividieren Sie -3+i\sqrt{51} durch -10.

$$x=\frac{-\sqrt{51}i+3}{10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-3±\sqrt{51}i}{-10}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie i\sqrt{51} von -3.

$$x=\frac{-\sqrt{51}i-3}{-10}$$

Dividieren Sie -3-i\sqrt{51} durch -10.

$$x=\frac{3+\sqrt{51}i}{10}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{-\sqrt{51}i+3}{10} x=\frac{3+\sqrt{51}i}{10}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-5x^{2}+3x=3$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -5.

$$\frac{-5x^{2}+3x}{-5}=\frac{3}{-5}$$

Division durch -5 macht die Multiplikation mit -5 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{3}{-5}x=\frac{3}{-5}$$

Dividieren Sie 3 durch -5.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x=\frac{3}{-5}$$

Dividieren Sie 3 durch -5.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x=-\frac{3}{5}$$

Dividieren Sie -\frac{3}{5}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{3}{10} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{3}{10} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{3}{5}+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{3}{10}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{3}{5}+\frac{9}{100}$$

Addieren Sie -\frac{3}{5} zu \frac{9}{100}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{51}{100}$$

Faktor x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{51}{100}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{51}{100}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{3}{10}=\frac{\sqrt{51}i}{10} x-\frac{3}{10}=-\frac{\sqrt{51}i}{10}$$

Addieren Sie \frac{3}{10} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{3+\sqrt{51}i}{10} x=\frac{-\sqrt{51}i+3}{10}$$