36x^2-12x-15 lösen

$$36 { x }^{ 2 } -12x-15$$

Faktorisieren

$$3\left(6x-5\right)\left(2x+1\right)$$

Lösungsschritte

Klammern Sie 3 aus.

$$3\left(12x^{2}-4x-5\right)$$

Betrachten Sie 12x^{2}-4x-5. Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 12x^{2}+ax+bx-5 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-4 ab=12\left(-5\right)=-60$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -60 ergeben.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -4 ergibt.

$$a=-10 b=6$$

12x^{2}-4x-5 als \left(12x^{2}-10x\right)+\left(6x-5\right) umschreiben.

$$\left(12x^{2}-10x\right)+\left(6x-5\right)$$

Klammern Sie 2x in 12x^{2}-10x aus.

$$2x\left(6x-5\right)+6x-5$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 6x-5 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(6x-5\right)\left(2x+1\right)$$

Schreiben Sie den vollständigen, faktorisierten Ausdruck um.

$$3\left(6x-5\right)\left(2x+1\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$36x^{2}-12x-15=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 36\left(-15\right)}}{2\times 36}$$

-12 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 36\left(-15\right)}}{2\times 36}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 36.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-144\left(-15\right)}}{2\times 36}$$

Multiplizieren Sie -144 mit -15.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+2160}}{2\times 36}$$

Addieren Sie 144 zu 2160.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{2304}}{2\times 36}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 2304.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±48}{2\times 36}$$

Das Gegenteil von -12 ist 12.

$$x=\frac{12±48}{2\times 36}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 36.

$$x=\frac{12±48}{72}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{12±48}{72}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 12 zu 48.

$$x=\frac{60}{72}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{60}{72} um den niedrigsten Term, indem Sie 12 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{5}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{12±48}{72}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 48 von 12.

$$x=-\frac{36}{72}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-36}{72} um den niedrigsten Term, indem Sie 36 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} \frac{5}{6} und für x_{2} -\frac{1}{2} ein.

$$36x^{2}-12x-15=36\left(x-\frac{5}{6}\right)\left(x-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$36x^{2}-12x-15=36\left(x-\frac{5}{6}\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{5}{6} von x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$36x^{2}-12x-15=36\times \frac{6x-5}{6}\left(x+\frac{1}{2}\right)$$

Addieren Sie \frac{1}{2} zu x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$36x^{2}-12x-15=36\times \frac{6x-5}{6}\times \frac{2x+1}{2}$$

Multiplizieren Sie \frac{6x-5}{6} mit \frac{2x+1}{2}, indem Sie den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch bis auf die kleinsten möglichen Terme.

$$36x^{2}-12x-15=36\times \frac{\left(6x-5\right)\left(2x+1\right)}{6\times 2}$$

Multiplizieren Sie 6 mit 2.

$$36x^{2}-12x-15=36\times \frac{\left(6x-5\right)\left(2x+1\right)}{12}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 12 in 36 und 12 aufheben.

$$36x^{2}-12x-15=3\left(6x-5\right)\left(2x+1\right)$$

Auswerten

$$36x^{2}-12x-15$$