32a^2+20a-3 lösen

$$32 a ^ { 2 } + 20 a - 3$$

Faktorisieren

$$\left(8a-1\right)\left(4a+3\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 32a^{2}+pa+qa-3 umgeschrieben werden. Um p und q zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$p+q=20 pq=32\left(-3\right)=-96$$

Weil pq negativ ist, haben p und q entgegengesetzte Vorzeichen. Weil p+q positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -96 ergeben.

$$-1,96 -2,48 -3,32 -4,24 -6,16 -8,12$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+96=95 -2+48=46 -3+32=29 -4+24=20 -6+16=10 -8+12=4$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 20 ergibt.

$$p=-4 q=24$$

32a^{2}+20a-3 als \left(32a^{2}-4a\right)+\left(24a-3\right) umschreiben.

$$\left(32a^{2}-4a\right)+\left(24a-3\right)$$

Klammern Sie 4a in der ersten und 3 in der zweiten Gruppe aus.

$$4a\left(8a-1\right)+3\left(8a-1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 8a-1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(8a-1\right)\left(4a+3\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$32a^{2}+20a-3=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$a=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\times 32\left(-3\right)}}{2\times 32}$$

20 zum Quadrat.

$$a=\frac{-20±\sqrt{400-4\times 32\left(-3\right)}}{2\times 32}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 32.

$$a=\frac{-20±\sqrt{400-128\left(-3\right)}}{2\times 32}$$

Multiplizieren Sie -128 mit -3.

$$a=\frac{-20±\sqrt{400+384}}{2\times 32}$$

Addieren Sie 400 zu 384.

$$a=\frac{-20±\sqrt{784}}{2\times 32}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 784.

$$a=\frac{-20±28}{2\times 32}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 32.

$$a=\frac{-20±28}{64}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung a=\frac{-20±28}{64}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -20 zu 28.

$$a=\frac{8}{64}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{8}{64} um den niedrigsten Term, indem Sie 8 extrahieren und aufheben.

$$a=\frac{1}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung a=\frac{-20±28}{64}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 28 von -20.

$$a=-\frac{48}{64}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-48}{64} um den niedrigsten Term, indem Sie 16 extrahieren und aufheben.

$$a=-\frac{3}{4}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} \frac{1}{8} und für x_{2} -\frac{3}{4} ein.

$$32a^{2}+20a-3=32\left(a-\frac{1}{8}\right)\left(a-\left(-\frac{3}{4}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$32a^{2}+20a-3=32\left(a-\frac{1}{8}\right)\left(a+\frac{3}{4}\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{1}{8} von a, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$32a^{2}+20a-3=32\times \frac{8a-1}{8}\left(a+\frac{3}{4}\right)$$

Addieren Sie \frac{3}{4} zu a, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$32a^{2}+20a-3=32\times \frac{8a-1}{8}\times \frac{4a+3}{4}$$

Multiplizieren Sie \frac{8a-1}{8} mit \frac{4a+3}{4}, indem Sie den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch bis auf die kleinsten möglichen Terme.

$$32a^{2}+20a-3=32\times \frac{\left(8a-1\right)\left(4a+3\right)}{8\times 4}$$

Multiplizieren Sie 8 mit 4.

$$32a^{2}+20a-3=32\times \frac{\left(8a-1\right)\left(4a+3\right)}{32}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 32 in 32 und 32 aufheben.

$$32a^{2}+20a-3=\left(8a-1\right)\left(4a+3\right)$$

Auswerten

$$\left(8a-1\right)\left(4a+3\right)$$