32x^2-80x+48=0 lösen

$$32 { x }^{ 2 } -80x+48=0$$

Nach x auflösen

$$x=1$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$32x^{2}-80x+48=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 32, b durch -80 und c durch 48, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{\left(-80\right)^{2}-4\times 32\times 48}}{2\times 32}$$

-80 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400-4\times 32\times 48}}{2\times 32}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 32.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400-128\times 48}}{2\times 32}$$

Multiplizieren Sie -128 mit 48.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400-6144}}{2\times 32}$$

Addieren Sie 6400 zu -6144.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{256}}{2\times 32}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 256.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±16}{2\times 32}$$

Das Gegenteil von -80 ist 80.

$$x=\frac{80±16}{2\times 32}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 32.

$$x=\frac{80±16}{64}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{80±16}{64}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 80 zu 16.

$$x=\frac{96}{64}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{96}{64} um den niedrigsten Term, indem Sie 32 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{3}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{80±16}{64}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 16 von 80.

$$x=\frac{64}{64}$$

Dividieren Sie 64 durch 64.

$$x=1$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{3}{2} x=1$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$32x^{2}-80x+48=0$$

48 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$32x^{2}-80x+48-48=-48$$

Die Subtraktion von 48 von sich selbst ergibt 0.

$$32x^{2}-80x=-48$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 32.

$$\frac{32x^{2}-80x}{32}=-\frac{48}{32}$$

Division durch 32 macht die Multiplikation mit 32 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{80}{32}\right)x=-\frac{48}{32}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-80}{32} um den niedrigsten Term, indem Sie 16 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=-\frac{48}{32}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-48}{32} um den niedrigsten Term, indem Sie 16 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=-\frac{3}{2}$$

Dividieren Sie -\frac{5}{2}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{5}{4} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{5}{4} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=-\frac{3}{2}+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{5}{4}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=-\frac{3}{2}+\frac{25}{16}$$

Addieren Sie -\frac{3}{2} zu \frac{25}{16}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{1}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{1}{16}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{16}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{5}{4}=\frac{1}{4} x-\frac{5}{4}=-\frac{1}{4}$$

Addieren Sie \frac{5}{4} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{3}{2} x=1$$